Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

  1. Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido W limitado por:
  1. y = 0 , y = 4 , z = 9 - x 2 , y + z = 4 .

Passo 1

Cara! Calculo de volume a esse altura do campeonato pra gente é uma integral tripla de 1 :

∭ W 1   d V

Não temos uma boa visualização desse sólido W por isso sempre é bom começar por aqui

Relaxa, pois fazer isso nada mais é do que desenhar todas essas superfícies aí ao mesmo tempo! Mas aqui, para você entender perfeitamente, primeiro vamos considerar cada uma delas separadas, ok?

Comecemos com as duas mais simples: y = 0 e y = 4 . São dois planos paralelos ao X Z ( y = 0 é o próprio X Z )

Quanto a esse outro plano aqui y + z = 4 , venha comigo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para superfície que só dependem de duas incógnitas como y + z = 4 , podemos sempre desenha-la no plano primeiro. No nosso caso, y + z = 4 , no plano Y Z nos representa uma reta

Pois bem! Agora como essa equação não depende de x , o que deve ser feito é “puxar” essa reta aí em torno do eixo x , saca? Então essa é a superfície:

Passo 3

A última superfície, z = 9 - x 2 , encontra-se da mesma forma que a anterior, afinal de contas ele só depende de duas variáveis:

Passo 4

Wooooow! Cuidado, pois ainda não terminamos de ver o sólido! Temos que colocar essas coisas juntas

Assim, o nosso sólido é...

Para você por dentro, vou tirar esse plano y = 4 da frente, veja:

O sólido é esse que esta indo do plano azul e indo até o “teto” vermelho

Passo 5

Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o T I P O   1 , onde temos o z variando de uma “base” até um “teto”

B a s e ≤ z ≤ T e t o       →

P l a n o   a z u l ≤ z ≤ C i l i n d r o   V e r m e l h o

Como o plano azul é justamente o plano y + z = 4 , isolando z ...

4 - y ≤ z ≤ C i l i n d r o   V e r m e l h o

o cilindro vermelho é z = 9 - x 2 ...

4 - y ≤ z ≤ 9 - x 2

Quanto ao x e ao y , olhemos para a projeção do sólido no plano X Y . Bora?

Passo 6

Pow, relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido

mas dessa vez, de cima para baixo:

Podemos descrever essa projeção como uma região do T I P O   2 , afinal, já sabemos que

0 ≤ y ≤ 4

Falta agora obtermos a variação do x . Pelo desenho da projeção, o x está variando desse pedacinho vermelho até o outro. Agora quem são essas curvas?

Se olharmos para o sólido, vamos notar que essas curvas são sombras da intercessão do plano azul, com esse cilindro bizarro vermelho. Fazer essa interação na matemática é resolver os sisteminha entre a equação do plano azul com o cilindro, vermelho:

y + z = 4 z = 9 - x 2             →  

4 - y = 9 - x 2

Como queremos a variação do x , isolemos nessa equação...

x 2 = y - 4 + 9       →

x = ± y + 5

Logo...

- y + 5 ≤ x ≤ y + 5

Passo 7

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ W   d V

Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o z , seguido pelo y e depois o x :

∫ 0 4 ∫ - y + 5 y + 5 ∫ 4 - y 9 - x 2 d z d x d y =

Começando com a integral de dentro...

∫ 0 4 ∫ - y + 5 y + 5 ∫ 4 - y 9 - x 2 d z d x d y =

∫ 0 4 ∫ - y + 5 y + 5 z 4 - y 9 - x 2 d x d y =

∫ 0 4 ∫ - y + 5 y + 5 9 - x 2 - 4 - y d x d y =

∫ 0 4 ∫ - y + 5 y + 5 5 - x 2 + y d x d y =

∫ 0 4 5 x - x 3 3 + y x - y + 5 y + 5 d y =

∫ 0 4 10 y + 5 - 2 3 y + 5 3 + 2 y y + 5 d y =

y + 5 = t           →                 d y = d t

y = 0                 →                   t = 5

y = 4                 →                   t = 9

∫ 5 9 10 t - 2 3 t 3 2 + 2 t - 5 t d y =

∫ 5 9 10 t - 2 3 t 3 2 + 2 t 3 2 - 10 t d y =

∫ 5 9 4 3 t 3 2 d y = 4 3 2 5 t 5 2 5 9 =

8 15 t 5 2 5 9 =

8 15 t 2 t 5 9 =

8 15 9 2 9 - 8 15 5 2 5 =

8 15 243 - 25 5

Resposta

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