Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

  1. Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido W limitado por:
  1. z = 3 x 2 , z = 4 - x 2 , y = 0 , z + y = 6 .

Passo 1

Cara! Calculo de volume a esse altura do campeonato pra gente é uma integral tripla de 1 :

∭ W 1   d V

Não temos uma boa visualização desse sólido W por isso sempre é bom começar por aqui

Relaxa, pois fazer isso nada mais é do que desenhar todas essas superfícies aí ao mesmo tempo! Quando fazemos isso, a superfície que ganhamos no espaço é esta daqui, oh:

Pegou? :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o T I P O   2 , onde temos o y variando de uma “base” até um “teto”

B a s e ≤ y ≤ T e t o       →

P l a n o   y = 0 ≤ y ≤ P l a n o   v e r m e l h o       →

0 ≤ y ≤ P l a n o   v e r m e l h o

o plano vermelho é z + y = 6 , então isolando o y →     y = 6 - z

0 ≤ y ≤ 6 - z

Quanto ao x e ao z , olhemos para a projeção do sólido no plano X Z . Bora?

Passo 3

Pow, relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido

mas dessa vez, colocando o olho em cima do eixo y e olhando de ladinho:

Repare que essas duas curvas verde, z = 3 x 2 , e azul,   z = 4 - x 2 , são justamente o desenho dessas parábolas no plano X Z . Podemos então descrever a região entre essas parábolas como uma região do T I P O   1 , onde

P a r á b o l a   V e r d e ≤ z ≤ P a r á b o l a   A z u l

3 x 2 ≤ z ≤ 4 - x 2

Só nos falta encontrar a variação de x e perceba que ele está indo daquele ponto de encontro azul até o verde. Encontrar esses pontos basta resolver a intercessão com as duas parábolas:

z = 4 - x 2 z = 3 x 2                 ⇒                 4 - x 2 = 3 x 2                 ⇒

4 x 2 = 4               ⇒             x 1 = - 1 x 2 = 1      

Logo

- 1 ≤ x ≤ 1

Passo 4

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ W   d V

Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o y , seguido pelo z e depois o x :

∫ - 1 1 ∫ 3 x 2 4 - x 2 ∫ 0 6 - z d y d z d x =

Integrando o de dentro e substituindo os limites de integração

∫ - 1 1 ∫ 3 x 2 4 - x 2 ∫ 0 6 - z d y d z d x =

∫ - 1 1 ∫ 3 x 2 4 - x 2 6 - z d z d x =

Integrando agora o do meio...

∫ - 1 1 ∫ 3 x 2 4 - x 2 6 - z d z d x =

∫ - 1 1 6 z - z 2 2 3 x 2 4 - x 2 d x

∫ - 1 1 6 4 - x 2 - 4 - x 2 2 2 - 6 3 x 2 - 3 x 2 2 2 d x =

Simplificando esses termos dos parênteses um pouco...

∫ - 1 1 24 - 6 x 2 - 16 - 8 x 2 + x 4 2 - 18 x 2 - 9 x 4 2 d x =

Simplificando mais ainda unindo os termos semelhantes...

∫ - 1 1 16 - 20 x 2 + 4 x 4 d x =

16 x - 20 x 3 3 + 4 x 5 5 - 1 1 =

chegamos ao resultado, que é

16 - 20 3 + 4 5 - - 16 + 20 3 - 4 5 =

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Resposta

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