Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

  1. Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido W limitado por:
  1. y = 0 , z = 0 , z + x 2 = 4 , y + z = 4 .

Passo 1

Cara! Calculo de volume a esse altura do campeonato pra gente é uma integral tripla de 1 :

∭ W 1   d V

Não temos uma boa visualização desse sólido W por isso sempre é bom começar por aqui

Relaxa, pois fazer isso nada mais é do que desenhar todas essas superfícies aí ao mesmo tempo! Quando fazemos isso, a superfície que ganhamos no espaço é esta daqui, oh:

Pegou? :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o T I P O   2 , onde temos o y variando de uma “base” até um “teto”

B a s e ≤ y ≤ T e t o       →

P l a n o   y = 0 ≤ y ≤ P l a n o   v e r d e       →

0 ≤ y ≤ P l a n o   v e r d e

o plano verde é z + y = 4 , então isolando o y →     y = 4 - z

0 ≤ y ≤ 4 - z

Quanto ao x e ao z , olhemos para a projeção do sólido no plano X Z . Bora?

Passo 3

Pow, relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido

mas dessa vez, colocando o olho em cima do eixo y e olhando de ladinho:

Repare que essa curva vermelha,   z + x 2 = 4 , é justamente o desenho dessa parábola no plano X Z . Podemos então descrever a região entre essa parábola como uma região do T I P O   1 , onde

0 ≤ z ≤ P a r á b o l a   v e r m e l h a

0 ≤ z ≤ 4 - x 2

Só nos falta encontrar a variação de x e perceba que ele está indo de um zero da função até o outro. Encontrar esses pontos basta resolver a intercessão com o eixo x

z + x 2 = 4 z = 0                 ⇒                 x 2 = 4                 ⇒

        x 1 = - 2 x 2 = 2    

Logo

- 2 ≤ x ≤ 2

Passo 4

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ W   d V

Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o y , seguido pelo z e depois o x :

∫ - 2 2 ∫ 0 4 - x 2 ∫ 0 4 - z d y d z d x =

Integrando o de dentro e substituindo os limites de integração

∫ - 2 2 ∫ 0 4 - x 2 ∫ 0 4 - z d y d z d x =

∫ - 2 2 ∫ 0 4 - x 2 4 - z d z d x =

Integrando agora o do meio...

∫ - 2 2 ∫ 0 4 - x 2 4 - z d z d x =

∫ - 2 2 4 z - z 2 2 0 4 - x 2 d x

∫ - 2 2 4 4 - x 2 - 4 - x 2 2 2 d x =

Simplificando esses termos dos parênteses um pouco...

∫ - 2 2 16 - 4 x 2 - 16 - 8 x 2 + x 4 2 d x =

Simplificando mais ainda unindo os termos semelhantes...

∫ - 2 2 8 - x 4 2 d x =

8 x - x 5 10 - 2 2 =

chegamos ao resultado, que é

16 - 32 10 - - 16 + 32 10 =

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Resposta

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