Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

  1. Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido W limitado por:

g) z = 1 - x 2 , y + z = 2 , z - y = 1 , z = 0 .

Passo 1

Cara! Calculo de volume a esse altura do campeonato pra gente é uma integral tripla de 1 :

∭ W 1   d V

Não temos uma boa visualização desse sólido W por isso sempre é bom começar por aqui

Relaxa, pois fazer isso nada mais é do que desenhar todas essas superfícies aí ao mesmo tempo! Quando fazemos isso, a superfície que ganhamos no espaço é esta daqui, oh:

Pegou? :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o T I P O   1 , onde temos o z variando de uma “base” até um “teto”

B a s e ≤ z ≤ T e t o       →

P l a n o   z = 0 ≤ z ≤ C i l i n d r o   V e r m e l h o       →

0 ≤ z ≤ C i l i n d r o   V e r m e l h o

o cilindro vermelho é z = 1 - x 2 , então...

0 ≤ z ≤ 1 - x 2

Quanto ao x e ao y , olhemos para a projeção do sólido no plano X Y . Bora?

Passo 3

Pow, relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido

mas dessa vez, olhando de cima para baixo:

ou

Repare que na lateral, essa região é delimitada por duas retas vermelhas que são justamente quando o cilindro vermelho encosta no plano z = 0

  z = 1 - x 2                   ⇒                       x 2 = 1                   ⇒             x 1 = - 1 x 2 = 1      

- 1 ≤ x ≤ 1

Quanto ao y , bem, ele varia entre essas duas parábolas que podem ser encontradas facilmente fazendo a interseção dos planos com o cilindro vermelho. Para a parábola amarela...

z = 1 - x 2 z - y = 1                 ⇒                 1 + y = 1 - x 2                 ⇒         y = - x 2

em relação a outra parábola

z = 1 - x 2 y + z = 2                 ⇒                 2 - y = 1 - x 2                 ⇒       y = 1 + x 2

- x 2 ≤ y ≤ 1 + x 2

Passo 4

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ W   d V

Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o z , seguido pelo y e depois o x :

∫ - 1 1 ∫ - x 2 1 + x 2 ∫ 0 1 - x 2 d z d y d x =

Integrando o de dentro e substituindo os limites de integração

∫ - 1 1 ∫ - x 2 1 + x 2 ∫ 0 1 - x 2 d z d y d x =

∫ - 1 1 ∫ - x 2 1 + x 2 1 - x 2 d y d x =

∫ - 1 1 y - x 2 y - x 2 1 + x 2 d x =

∫ - 1 1 1 + x 2 - x 2 1 + x 2 - - x 2 + x 4 d x =

∫ - 1 1 1 + x 2 - x 2 - x 4 + x 2 - x 4 d x =

∫ - 1 1 1 + x 2 - 2 x 4 d x = x + x 3 3 - 2 x 5 5 - 1 1 =

1 + 1 3 - 2 5 - - 1 - 1 3 + 2 5 = 2 + 2 3 - 4 5 =

30 + 10 - 12 15 = 28 15

Resposta

28 15

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