Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

  1. Use uma integral tripla para calcular o volume do sólido W limitado por:

h) z = - y , y = x 2 - 1 , z = 0 .

Passo 1

Cara! Calculo de volume a esse altura do campeonato pra gente é uma integral tripla de 1 :

∭ W 1   d V

Não temos uma boa visualização desse sólido W por isso sempre é bom começar por aqui

Relaxa, pois fazer isso nada mais é do que desenhar todas essas superfícies aí ao mesmo tempo! Quando fazemos isso, a superfície que ganhamos no espaço é esta daqui, oh:

Pegou? :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Não trabalhamos com esse sólido dessa forma, por isso, a ideia aqui sempre será partir para a descrição dele. Nesse caso, cabe o T I P O   1 , onde temos o z variando de uma “base” até um “teto”

B a s e ≤ z ≤ T e t o       →

P l a n o   z = 0 ≤ z ≤ P l a n o   v e r m e l h o       →

0 ≤ z ≤ P l a n o   v e r m e l h o

o plano vermelho é z = - y , então...

0 ≤ z ≤ - y

Quanto ao x e ao y , olhemos para a projeção do sólido no plano X Y . Bora?

Passo 3

Pow, relaxa! Projetar esse sólido nesse plano nada mais é do que olhar para o sólido

mas dessa vez, olhando de cima para baixo:

Note que podemos descrever essa região também do T i p o   1 , onde onde o y varia dessa parábola azul até 0

P a r á b o l a   a z u l ≤ y ≤ 0

x 2 - 1 ≤ y ≤ 0

Só nos falta encontrar a variação de x e perceba que ele está indo de um z e r o da parábola até o outro. Encontrar esses pontos basta resolver a equação do segundo grau

  x 2 - 1 = 0               ⇒                     x 1 = - 1 x 2 = 1      

Logo

- 1 ≤ x ≤ 1

Passo 4

Bem, agora é só montar a integral tripla e correr para o abraço!

∭ W   d V

Lembre-se que na integral mais interna, fica a que tem mais variável, no caso o z , seguido pelo y e depois o x :

∫ - 1 1 ∫ x 2 - 1 0 ∫ 0 - y d z d y d x =

Integrando o de dentro e substituindo os limites de integração

∫ - 1 1 ∫ x 2 - 1 0 ∫ 0 - y d z d y d x =

∫ - 1 1 ∫ x 2 - 1 0 - y d y d x =

∫ - 1 1 ∫ x 2 - 1 0 - y d y d x =

∫ - 1 1 - y 2 2 x 2 - 1 0 d x =

∫ - 1 1 0 - - x 2 - 1 2 2 d x = ∫ - 1 1 x 2 - 1 2 2 d x =

∫ - 1 1 x 4 - 2 x 2 + 1 2 d x =

x 5 10 - x 3 3 + 1 2 x - 1 1 = 1 10 - 1 3 + 1 2 - - 1 10 + 1 3 - 1 2 =

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Resposta

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