Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Gerais

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 948

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido delimitado pelo cilindro x = y 2   e pelos planos z = 0 e x + z = 1 .

Passo 1

Bom, o volume desse sólido será V = d V = w   d x d y d z , certo? Agora precisamos descrever a região de integração W . Vamos começar fazendo um esboço dela:

A superfície vermelha representa a equação x = y 2 , que é independente de z (ou seja, é a equação de um cilindro), por isso, temos várias parábolas “alinhadas” ao longo desse eixo. O plano azul x + z = 1 tem equação independente de y , então pode ser interpretado como várias retas x + z = 1 ao longo desse eixo.

Como podemos ver, no plano x y , temos um domínio D . Em z , o sólido é limitado embaixo pelo plano z = 0 e em cima pelo outro plano z = 1 - x . Vamos, então, escrever essa região como tipo I:

W = { ( x , y , z ) | x , y D ;   0 z 1 - x }

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos descrever o domínio D . Para isso, faremos um esboço da projeção do sólido plano x y :

Fazendo a interseção da equação do cilindro e da equação do plano x + z = 1 com z = 0 , descobrimos as equações dessas curvas acima, que serão x = y 2 e x = 1 .

Vamos descrever essa área como tipo II (poderíamos ter descrito como tipo I também), pois temos o intervalo de y entre dois números e o de x entre a função da parábola (em vermelho) e a da reta (em azul). Substituindo x = 1 na equação da parábola, vemos que y varia entre - 1 e 1 . Temos, então:

D = ( x , y | - 1 y 1 ; y 2 x 1 }

Passo 3

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada:

- 1 1   y 2 1   0 1 - x d z d x d y =

Passo 4

Integrando em relação a z , temos:

= - 1 1   y 2 1   z z = 0 z = 1 - x d x d y = - 1 1   y 2 1   1 - x d x d y =

Passo 5

Agora, integramos em relação a x :

= - 1 1   x - x 2 2 x = y 2 x = 1 d y = - 1 1   1 - 1 2 - y 2 - y 4 2 d y = - 1 1 1 2 - y 2 + y 4 2 d y =

Passo 6

Finamente, integramos em relação a y :

= y 2 - y 3 3 + y 5 10 - 1 1 = 1 2 - 1 3 + 1 10 - 1 2 + 1 3 - 1 10 =

Resposta

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