Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Considere fixada uma orientação em V 3 . Seja A B C D um tetraedro em E 3 tal que:

A B → = 2 ,   B C → = 2 ,   B D → = 3

E tal que a medida do ângulo entre os vetores A B → e B C → é igual a π 3 . Se a medida do ângulo entre os vetores A B → ∧ B C → e B D → for igual a 2 π 3 , então o volume desse tetraedro será igual a:

(a) 3 2

(b) 3 3

(c) 3 6

(d) 3

(e) 3 3 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um tretraedro A B C D formado por vetores. Ele nos deu as dimensões de alguns desses vetores, no caso, A B → = 2 ,   B C → = 2 ,   B D → = 3 , e o ângulo entre eles. E nós precisamos determinar o volume desse tetraedro.

Galera, sempre que falarmos em determinar o volume de um tetraedro usando vetores, precisamos pensar em usar em produto misto. Isso porque o volume de um paralelípedo nada mais é do que o módulo do produto misto, e o paralelepípedo é composto por 6 tetraedros. Então, basta a gente dividir o produto misto por 6 para obter o volume do tetraedro:

V = 1 6 B A → ,   B C → ,   B D →

Mas como a gente tá tomando um valor absoluto (em módulo), a gente pode inverter os vetores sem precisar inverter o sinal, então a gente pode trocar B A → por A B → (que a gente conhece o módulo).

V = 1 6 A B → ,   B C → ,   B D →

A partir daí nós vamos determinar o volume do tetraedro A B C D usando a definição de produto misto.

Vamos lá!

Passo 2

Lembra como a gente calcula um produto misto? O produto misto é a junção de um produto vetorial de dois vetores com um produto escalar com um terceiro vetor. Então, usando a nossa equação de volume, temos:

V = 1 6 A B → ∧ B C → ∙ B D →

Tá, mas como é mesmo que calcula o produto vetorial? A gente pode calcular usando a relação:

A B → ∧ B C → = A B → B C → sin ⁡ θ 1

Onde θ 1 é o ângulo entre os vetores A B → e B C → , que já sabe que é π 3 . Substituindo essa definição de produto vetorial na nossa equação de volume, temos:

V = 1 6 A B → B C → sin ⁡ θ 1 ∙ B D →

Agora só falta a gente definir aquele produto escalar ali, que é dado pelo módulo de cada vetor vezes o cosseno do ângulo entre eles (no caso, o vetor resultante do produto vetorial e o vetor B D → ). Assim, teremos:

V = 1 6 A B → B C → sin ⁡ θ 1 B D → cos ⁡ θ 2

Onde θ 2 também foi dado pelo enunciado e é igual a 2 π 3 .

Passo 3

Substituindo o valor dos ângulos e o valor dos módulos, A B → = 2 ,   B C → = 2 ,   B D → = 3 , na equação de volume:

V = 1 6 2 ∙ 2 sin ⁡ π 3 ∙ 3 ∙ cos ⁡ 2 π 3

Como sin ⁡ π 3 = 3 2 e cos ⁡ 2 π 3 = - 1 2 , vamos obter:

V = 1 6 2 ∙ 2 ∙ 3 2 ∙ 3 ∙ - 1 2

Logo,

V = 1 6 3 3

Como a raiz quadrada é sempre positiva, a gente pode tirar do módulo:

V = 1 6 ∙ 3 3

Simplificando, temos:

V = 3 2

Que é a nossa alternativa (A).

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 3 2

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