Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

Ver Teoria

Enunciado

Sejam   A ,   B ,   C   ∈   E 3 pontos que não pertençam a uma mesma reta e considere o vetor

u   = 2 / 3   A B   + 1 / 2   A C .

Seja X   ∈   E 3 o ponto tal que o vetor B X seja paralelo a B C e tal que A X seja paralelo

a u . Assinale a alternativa correta:

  1. 7 A X   −   4 A B   −   3 A C   =   0
  2. 7 A X   −   3 A B   −   4 A C   =   0
  3. 6 A X   −   4 A B   −   3 A C   =   0
  4. 5 A X   −   4 A B   −   3 A C   =   0
  5. 5 A X   −   3 A B   −   4 A C   =   0

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é verificar qual relação entre A B , A C e A X está correta nas alternativas. Para isso, o enunciado nos informa que

  A ,   B ,   C   ∈   E 3 pontos que não pertençam a uma mesma reta e considere o vetor

u   = 2 / 3   A B   + 1 / 2   A C .

Seja X   ∈   E 3 o ponto tal que o vetor B X seja paralelo a B C e tal que A X seja paralelo

a u .

Bem, vamos começar a desmembrar essas informações para resolver mais uma questão!!!!

Passo 2

Bem, temos as seguintes informações do enunciado.

  A ,   B ,   C   ∈   E 3 pontos que não pertençam a uma mesma reta e considere o vetor

u   = 2 / 3   A B   + 1 / 2   A C .

Seja X   ∈   E 3 o ponto tal que o vetor B X seja paralelo a B C e tal que A X seja paralelo

a u .

Começando com o fato que   A ,   B ,   C   ∈   E 3 pontos que não pertençam a uma mesma. O que isso quer dizer? Ora se eles são não colineares, então os vetores A C e A B são LI, que nem no desenho abaixo.

E o que podemos dizer sobre as informações a seguir?

X   ∈   E 3 o ponto tal que o vetor B X seja paralelo a B C e tal que A X seja paralelo

a u .

Bem se B X seja paralelo a B C , então temos que

B X   =   a B C ;   a ∈ R

Pois ambos os vetores começam do mesmo ponto. Mas podemos escrever esse vetor de outra forma, podemos fazer

B X   =   a ( A C + B A )

= a A C - a A B

Como ilustrado na figura abaixo

Mas Podemos escrever B X   de outra forma, podemos fazer

B X = B A + A X

E de forma análoga, como A X é paralelo a u , temos que

A X   = b * ( 2 / 3   A B   + 1 / 2   A C ) .

Passo 3

Agora podemos obter alguma relação entre A B , A C e A X . Como

B X   =   a A C - a A B ;   a ∈ R

e

B X = B A + A X

e

A X   = b * ( 2 / 3   A B   + 1 / 2   A C ) .

Podemos juntar as duas primeiras igualdades para obter

  a A C - a A B = B A + A X

Reescrevendo B A como - A B e substituindo A X Temos:

  a A C - a A B = - A B + b * ( 2 / 3   A B   + 1 / 2   A C )

a A C - a A B = ( - 1 + 2 b 3 ) A B + b 2 A C

Agora, como os vetores A C   e   A B São LI, pois os pontos não pertencem a uma mesma reta. Temos que essa igualdade só será válida se

a = b 2

- a = - 1 + 2 b 3

Somando as duas igualdades obtemos que:

0 = - 1 + 7 b 6

⇒ b = 6 7

e

a = 3 7

Passo 4

Agora que sabemos que

b = 6 7

e

a = 3 7

Podemos substituir esse valor na igualdade

A X   = b * ( 2 / 3   A B   + 1 / 2   A C ) .

E obtemos que

A X   = 6 7 * ( 2 / 3   A B   + 1 / 2   A C ) .

A X   = 4 / 7   A B   + 3 / 7   A C .

Logo

A X   - 4 / 7   A B   - 3 / 7   A C = 0 .

Multiplicando os dois lados por 7 temos:

7 A X   - 4   A B   - 3   A C = 0 .

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que vec u = vec 0 harr ‖vec u‖ = 0
Prove que ‖- vec u‖ = ‖vec u‖
Prove que [(A , B) tilde (P , Q) e (C , D) tilde (P , Q)] - (A , B) tilde ( C , D ) .
Mostre que, se A≠ B , então A , B e B , A são de mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário.
(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B