Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Considere fixada uma orientação em V 3 . Sejam u → , v → ∈ V 3 vetores tais que o produto misto [ u → ,   v → ,   w → ] seja igual a 3 . Temos que

[ 2 u → - w → , w → ,   u → + v → ]

é igual a:

(a) - 6

(b) 6

(c) - 9

(d) 9

(e) 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar o valor do produto misto [ 2 u → - w → , w → ,   u → + v → ] sabendo que o valor do produto misto [ u → ,   v → ,   w → ] é igual a 3 .

Mas o que é um produto misto mesmo? Nada mais é do que uma maneira da gente multiplicar três vetores, mas essa multiplicação tem suas regrinhas próprias. Uma forma de calcular o produto misto pode ser fazendo o produto escalar de um dos vetores com o produto vetoria dos outros dois, u → × v → ∙ w → . Outra forma seria calcular o determinante entre os vetores:

u → ,   v → ,   w → = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3

Mas calmas que a gente não vai precisar fazer esse cálculo. Isso porque, o enunciado já nos deu o valor do produto misto [ u → ,   v → ,   w → ] , que é 3 . Então, só o que a gente precisa fazer é usar algumas propriedades vetoriais pra chegar em uma relação com esse produto misto que a gente já conhece o valor, e assim conseguir determinar o valor de [ 2 u → - w �� , w → ,   u → + v → ] .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar tentando “desmembrar” o conjunto [ 2 u → - w → , w → ,   u → + v → ] . Pra isso, nós vamos usar uma propriedade que nos diz que:

a → 1 + a → 2 ,   b → ,   c → = a → 1 ,   b → ,   c → + a → 2 ,   b → ,   c →

E o mesmo vale quando essa soma tá na terceira componente, tá? Ali em c → .

Então, para [ 2 u → - w → , w → ,   u → + v → ] , temos:

2 u → - w → , w → ,   u → + v → = 2 u → , w → ,   u → + v → + [ - w → , w → ,   u → + v → ]

Aí tem outra propriedade que nos diz que o produto misto entre três vetores é nulo se dois deles são colineares ou se o três são coplanares. E a gente diz que dois vetores são colineares se tiverem a mesma direção. Então, quer dizer que w → e - w → são colineares? Isso mesmo, porque eles possuem o mesmo módulo e direção.

E aí, o quê que acontece? O produto misto da direita, [ - w → , w → ,   u → + v → ] é igual a 0 , porque possui dois vetores colineares, sacou? Então, vai ficar:

2 u → - w → , w → ,   u → + v → = 2 u → , w → ,   u → + v →

Passo 3

Dá primeira propriedade que nós vimos no passo 2 , nós podemos separar aquela soma na terceira componente, certo? Então, vamos ter:

2 u → - w → , w → ,   u → + v → = 2 u → , w → ,   u → + 2 u → , w → ,   v →

Agora, olha só esse produto 2 u → , w → ,   u → . Reparou que temos um vetor u → que é proporcional a 2 u → ? Isso quer dizer que eles também são colineares. Então, o produto misto 2 u → , w → ,   u → também vai ser zero. E temos:

2 u → - w → , w → ,   u → + v → = 2 u → , w → ,   v →

Agora, será que dá pra gente tira aquele dois do início do segundo produto? Dá sim, porque existe uma outra propriedade que define o seguinte:

u → , v → ,   m w → = u → , m v → ,   w → = m u → , v → ,   w → = m u → , v → ,   w →

Onde m é uma constante. Isso quer dizer que 2 u → , w → ,   v → = 2 u → , w → ,   v → . Assim:

2 u → - w → , w → ,   u → + v → = 2 u → , w → ,   v →

Passo 4

Agora tá bem parecido com o produto misto que o enunciado nos deu, né? Só falta a gente mudar a ordem desses vetores. Pra isso, a gente vai precisar mudar a ordem de dois vetores consecutivos e no produto misto, quando a gente precisar fazer essa troca, nós mudamos o sinal do produto. Então vamos ter:

2 u → - w → , w → ,   u → + v → = - 2 u → , v → ,   w →

Agora sim, nós sabemos que u → , v → ,   w → = 3 . Dessa forma, temos:

2 u → - w → , w → ,   u → + v → = - 2 ∙ 3

2 u → - w → , w → ,   u → + v → = - 6

E encontramos nosso resultado na alternativa (A).

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 u → - w → , w → ,   u → + v → = - 6

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Prove que vec u = vec 0 harr ‖vec u‖ = 0
Prove que ‖- vec u‖ = ‖vec u‖
Prove que [(A , B) tilde (P , Q) e (C , D) tilde (P , Q)] - (A , B) tilde ( C , D ) .
Mostre que, se A≠ B , então A , B e B , A são de mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário.
(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B