Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Sejam dados vetores   u ,   v   ∈ V 3 tais que ∥ u ∥   =   2 ,   ∥ v ∥   =   1   e a medida do ângulo entre   u   e   v seja igual a π / 3 . Dado   λ   ∈   R , temos que

  ∥ u   +   λ v ∥   = √ 3

se e somente se, λ é igual a:

  1. - 1
  2. 1
  3. 0
  4. 1 / 2
  5. 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez uma onde vamos usar as propriedades do produtointerno.

Bem, nos queremos calcular λ tal que

  ∥ u   +   λ v ∥   = √ 3

onde ∥ u ∥   =   2 ,   ∥ v ∥   =   1   e a medida do ângulo entre   u   e   v seja igual a π / 3 .

Uma estratégia para fazer essa questão é usar o fato que

< u , u > = | | u | | 2

Com isso em mente, vamos fazer a questão:

Passo 2

Vamos calcular

∥ u   +   λ v ∥ 2

mas vimos que isso é

< u   +   λ v , u   +   λ v >

Usando a linearidade do produto interno, temos que

= < u   +   λ v , u > + < u   +   λ v , λ v >

Usando a linearidade novamente, obtemos:

= < u , u > + 2 < u   , λ v > + < λ v , λ v >

= < u , u > + 2 λ < u   , v > + λ 2 < v , v >

Ora, mas podemos calcular esses produtos internos, pois ∥ u ∥   =   2 ,   ∥ v ∥   =   1   e a medida do ângulo entre   u   e   v seja igual a π / 3 .

Dessa forma, obtemos que

< u   +   λ v , u   +   λ v > = 4 + 2 λ * 2 * 1 * c o s ( π / 3 ) + λ 2

= 4 + 2 λ + λ 2

Passo 3

No passo anterior, descobrimos que

∥ u   +   λ v ∥ 2 = < u   +   λ v , u   +   λ v > = 4 + 2 λ + λ 2

Mas queremos λ tal que

  ∥ u   +   λ v ∥   = √ 3

Ou seja,

  ∥ u   +   λ v ∥ 2   = 3

Então podemos formar a seguinte igualdade

4 + 2 λ + λ 2 = 3

⇒ 1 + 2 λ + λ 2 = 0

Temos uma equação do segundo grau. Usando Baskara obtemos as seguintes raízes:

λ = - 1

Logo quando λ = - 1

  ∥ u   +   λ v ∥   = √ 3

Valor de λ presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B