Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Sejam ε uma base ortonormal de V 3 e u → , v → ∈ V 3 vetores não nulos tais que

2 ,   1 ,   1 ε = u → + v → ,

u → é paralelo a 1 ,   - 1 ,   2 ε e v → é ortogonal a u → . Temos que v → ∙ 2 ,   1 ,   1 ε é igual a:

(a) 9 2

(b) 5 2

(c) - 3 2

(d) 13 2

(e) 7 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu dois vetores u → e v → , que estão em uma base ortonomal ε , que pertence a um espaço vetorial V 3 . Ele nos disse, então, que o vetor u → é paralelo ao vetor ( 1 ,   - 1 ,   2 ) na base ε , e que v → é ortogonal a u → . E nós precisamos encontrar o valor do produto escalar v → ∙ 2 ,   1 ,   1 ε .

Não precisa ficar confuso que nem a Nazaré, vamos entender melhor o que é isso tudo.

Só pra gente relembrar, uma base ortonormal é uma base ortogonal (o produto interno entre os vetores da base é zero) e que o módulo dos vetores da base seja 1 . Mas isso não vai interferir muito nos nossos cálculos agora.

Como o objetivo da questão é encontrar o produto escalar de v → com o vetor 2 ,   1 ,   1 na base ε , mas nós não sabemos o valor de v → , a gente só sabe que ele é ortogonal a u → . E a gente sabe quem é u → ? Não, rs. Mas a gente sabe que u → é paralelo a 1 ,   - 1 ,   2 ε , então u → é uma projeção de 2 ,   1 ,   1 ε em 1 ,   - 1 ,   2 ε . A gente pode escrever isso assim:

u → = p r o j 1 , - 1,2 ε 2 ,   1 ,   1 ε

Dessa forma, o que nós precisamos fazer é construir uma transformação que projete o vetor dado em um espaço vetorial, ou seja, uma projeção ortogonal. Isso vai nos dá o valor de u → . Mas e para encontrar v → ?

Bom, a gente sabe que v → é ortogonal a u → ( v → ⊥ u → ), então pela propriedade da projeção ortogonal v → vai ser igual ao vetor projetado, 2 ,   1 ,   1 ε , menos u → . Ou seja:

v → = 2 ,   1 ,   1 ε - p r o j 1 , - 1,2 ε 2 ,   1 ,   1 ε

Encontrando v → nós conseguimos definir o valor do produto escalar, v → ∙ 2 ,   1 ,   1 ε , que a questão pede.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando o valor do vetor u → através da projeção ortogonal:

u → = p r o j 1 , - 1,2 ε 2 ,   1 ,   1 ε

Por definição, uma projeção ortogonal é dada por:

p r o j a → b → = b → ∙ a → ‖ a → ‖ 2 a →

No nosso caso, a → = 1 , - 1,2 ε e b → = 2 ,   1 ,   1 ε , então temos:

p r o j 1 , - 1,2 ε 2 ,   1 ,   1 ε = 2 ,   1 ,   1 ε ∙ 1 , - 1,2 ε ‖ 1 , - 1,2 ε ‖ 2 1 , - 1,2 ε

Fazendo o produto escalar no numerador (somando o produto de cada componente dos vetores), temos:

2 - 1 + 2 ‖ 1 , - 1,2 ε ‖ 2 1 , - 1,2 ε

Tirando o módulo do vetor no denominador (fazendo ‖ 1 , - 1,2 ε ‖ 2 = 1 2 + - 1 2 + 2 2 2 ), temos:

2 - 1 + 2 1 + 1 + 4 1 , - 1,2 ε

= 3 6 1 , - 1,2 ε

Simplificando a fração, vamos ter:

u → = 1 2 1 , - 1,2 ε

Multiplicando o escalar pelo vetor:

u → = 1 2 ,   - 1 2 ,   1 ε

Passo 3

Agora, para encontrar v → , podemos substituir u → = 1 2 ,   - 1 2 ,   1 ε na equação que nós definimos para v → lá no passo 1 :

v → = 2 ,   1 ,   1 ε - p r o j 1 , - 1,2 ε 2 ,   1 ,   1 ε

Lembrando que u → = p r o j 1 , - 1,2 ε 2 ,   1 ,   1 ε nessa equação. Então, temos:

v → = 2 ,   1 ,   1 ε - 1 2 ,   - 1 2 ,   1 ε

Somando componente por componente, vamos obter:

v → = 3 2 ,   3 2 ,   0 ε

Passo 4

Agora que sabemos quem é v → , podemos calcular o produto escalar v → ∙ 2 ,   1 ,   1 ε :

v → ∙ 2 ,   1 ,   1 ε

Substituindo v → = 3 2 ,   3 2 ,   0 ε :

3 2 ,   3 2 ,   0 ε ∙ 2 ,   1 ,   1 ε

Agora basta somar o produto entre as componentes de cada vetor:

3 2 ∙ 2 + 3 2 ∙ 1 + 0 ∙ 1

3 + 3 2 + 0

= 9 2

Que é a nossa alternativa (A).

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

v → ∙ 2 ,   1 ,   1 ε = 9 2

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