Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Seja E uma base ortonormal de V 3 e considere os vetores   u   =   ( 0 ,   1 ,   − 2   ) E     e   v   =   ( 1 ,   − 1 ,   1 ) E . Suponha que { a , b ,   c } seja uma base ortogonal de V 3 tal que a tem a mesma direção que u , e tal que b é uma combinação linear de u   e   v .

Se x ,   y ,   z   ∈   R são tais que   c   =   ( x ,   y ,   z ) E , então:

  1. 7 14
  2. 3 7 14
  3. - 2 7 7
  4. - 7 7
  5. - 3 7 14

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bem bacana, pois estaremos trabalhando com produto interno.

Nosso objetivo é verificar uma condição   c   =   ( x ,   y ,   z ) E para que a base { a , b ,   c } seja ortogonal.

mas para isso, temos que:   u   =   ( 0 ,   1 ,   − 2   ) E     e   v   =   ( 1 ,   − 1 ,   1 ) E ,   a tem a mesma direção que u , e tal que b é uma combinação linear de u   e   v .

Como falei no começo, essa é uma questão que usamos no produto interno. Vocês lembram dele? e de suas propriedades?

Não? Vamos relembrar!!!! Nesse caso, como temos uma base ortonormal, podemos calcular o nosso produto interno da seguinte maneira:

< ( p , q , r ) , ( s , t , u ) > = p s + q t + r u

E além disso, dois vetores são ditos ortogonais se < u , v > = 0

Lembraram? Show!!!! Vamos a luta

Passo 2

Agora que fizemos uma revisão, vamos checar nosso objetivo. Queremos obter alguma relação sobre as coordenadas de   c   =   ( x ,   y ,   z ) E para que a base seja ortogonal { a , b ,   c }

Isto é, queremos que

< a , b > = 0

e

< a , c > = 0

e

< b , c > = 0

Para isso, vamos começar olhando as condições

  u   =   ( 0 ,   1 ,   − 2   ) E     e   v   =   ( 1 ,   − 1 ,   1 ) E ,   a tem a mesma direção que u , e tal que b é uma combinação linear de u   e   v .

a = k 1 * u ,   k 1 ∈ R

Se b é uma combinação linear de u   e   v . Então

b =   k 2 u + k 3 v

Dessa forma, temos que

< a , c > = 0

⇒ < k 1 u , c > = 0

substituindo os vetores

⇔ k 1 < ( 0,1 , - 2 ) , ( x , y , z ) > = 0

⇔ 0 x + y - 2 z = 0

Blz?

Passo 3

Agora, vamos checar a outra condição,

< b , c > = 0

<   k 2 u + k 3 v , c > = 0

Usando a linearidade do produto interno

⇔ < k 2 u , c > + < k 3 v , c > = 0

Mas já vimos que c é perpendicular a a logo, será perpendicular a u ( a é paralelo a u ),

k 3 < v , c > = 0

Substituindo os vetores.

k 3 < ( 1 , - 1,1 ) , ( x , y , z ) > = 0

Usando a definição do produto interno

x - y + z = 0

Ou seja, descobrimos as seguintes condições

0 x + y - 2 z = 0

x - y + z = 0

Somando as duas descobrimos que

x - z = 0

Ou seja, as condições necessárias estão presentes na letra a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B