Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

Ver Teoria

Enunciado

Considere fixada uma orientação em V 3 . Sejam a → ,   u → e v → ∈ V 3 com a → ≠ 0 → . Assinale a alternativa correta:

(a) se p r o j a → u → = p r o j a → v → , então u → - v → é ortogonal a a →

(b) se u → é ortogonal a a → , então p r o j a → u → = u →

(c) o produto misto [ a → ,   u → ,   v → ] é nulo se, e somente se, a → é combinação linear de u → e v →

(d) se { u → ,   v → ,   a → } é linearmente dependente, então u → ∧ v → é paralelo a a →

(e) u → ∧ v → + u → ∙ v → = u → v →

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu três vetores, a → ,   u → e v → , que pertencem ao mesmo espaço vetorial V 3 , cujo vetor a → é diferente do vetor nulo. E nós precisamos analisar cada afirmativa, para verificar se elas são verdadeiras ou não, usando algumas propriedades vetoriais.

Primeiramente, precisamos lembrar que toda vez que eu pegar um vetor pertencente à um espaço V e projetá-lo em V dará o próprio vetor. E se eu pegar outro vetor pertencente ao complemento ortogonal de V , no caso V ⊥ , dará zero.

Além disso, vamos precisar relembrar quando um produto misto é igual a zero e as propriedades do produto escalar.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar analisando a letra (a), que nos diz que “se p r o j a → u → = p r o j a → v → , então u → - v → é ortogonal a a → ”. Vamos ver se isso é verdade. Pegando a condição:

p r o j a → u → = p r o j a → v →

Temos uma projeção que é igual a outra, então se eu subtrair uma da outra, vamos encontrar o vetor nulo, certo? Assim:

p r o j a → u → - p r o j a → v → = 0 →

A gente pode reescrever isso na forma:

p r o j a → u → - v → = 0 →

Por definição, pra que essa projeção seja igual ao vetor nulo, u → - v → precisa ser ortogonal ao vetor a → , porque ela formaria 90 ° com o plano onde está sendo projetada e consequentemente o cosseno do ângulo entre eles seria zero.

Portanto, já temos nossa alternativa correta. Mas vamos analisar as outras.

Passo 3

A alternativa (b) diz que “se u → é ortogonal a a → , então p r o j a → u → = u → ”. Isso é falso, porque, como vimos no passo anterior, se u → é ortogonal a a → , então a projeção:

p r o j a → u → = 0

Na alternativa (c), ele nos diz que “o produto misto [ a → ,   u → ,   v → ] é nulo se, e somente se, a → é combinação linear de u → e v → ”. Isso também é falso, porque o produto misto entre três vetores é nulo se, e somente se, os três forem linearmente dependentes, ou seja, a → ,   u → ,   v → é L D . E isso pode acontecer sem que a → seja combinação linear de u → e v → .

Na letra (d), temos a afirmativa de que “se { u → ,   v → ,   a → } é linearmente dependente, então u → ∧ v → é paralelo a a → ”. Ou seja, ele diz que se o produto misto desses vetores for L I , então produto vetorial de u → e v → produz um vetor paralelo a a → . Isso também não é verdade, porque se u → e v → forem L I o produto vetorial entre eles é nulo e ortogonal a u → e v → . Portanto, u → ∧ v → não é paralelo a nenhum plano paralelo a u → e v → .

Por fim, na letra (e), temos que “ u → ∧ v → + u → ∙ v → = u → v → ”. Pra verificar se isso é verdade, precisamos desenvolver o lado esquerdo da igualdade. Assim, supondo que θ seja a medida do ângulo entre u → e v → , temos:

u → ∧ v → + u → ∙ v → = u → v → sin ⁡ θ + u → v → cos ⁡ θ

Colocando u → v → em evidência:

u → ∧ v → + u → ∙ v → = u → v → ( sin ⁡ θ + cos ⁡ θ )

Portanto, não é igual a u → v → em geral, e a alternativa também é falsa.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A   s e   p r o j a → u → = p r o j a → v → ,   e n t ã o   u → - v →   é   o r t o g o n a l   a   a →

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que vec u = vec 0 harr ‖vec u‖ = 0
Prove que ‖- vec u‖ = ‖vec u‖
Prove que [(A , B) tilde (P , Q) e (C , D) tilde (P , Q)] - (A , B) tilde ( C , D ) .
Mostre que, se A≠ B , então A , B e B , A são de mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário.
(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B