Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Escreva v = ( 2 ,   7 ,   - 1 ,   4 ) como combinação linear dos vetores v 1 = ( 1 ,   2 ,   1 ,   2 ) , v 2 = ( 1 ,   1 ,   2 ,   2 ) e v 3 = ( 1 ,   3 ,   0 ,   2 ) . Mostre que o conjunto gerado por v , v 1 , v 2 , v 3 é igual ao conjunto gerado por v 1 , v 2 , v 3 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Tudo certinho?

Muito bacana esse tipo de questão já que é muito comum de cair em provas de Álgebra Linear, então é importante aprender os conceitos e praticar muito.

Dito isso, bora lá!

Foi dado três vetores para nós, no caso, v 1 , v 2 e v 3 .

v 1 = ( 1 ,   2 ,   1 ,   2 ) v 2 = ( 1 ,   1 ,   2 ,   2 ) v 3 = ( 1 ,   3 ,   0 ,   2 )

Com esses vetores, temos que calcular uma combinação linear entre eles que resultem em um vetor v , onde

v = ( 2 ,   7 ,   - 1 ,   4 )

Passo 2

A grosso modo, para escrever uma combinação linear, temos que atribuir variáveis à nossa base e iguala-la ao nosso vetor resultante. Dessa forma

a · v 1 + b · v 2 + c · v 3 = v

Vamos escrever de outro jeito para facilitar

a · ( 1 ,   2 ,   1 ,   2 ) + b · ( 1 ,   1 ,   2 ,   2 ) + c · ( 1 ,   3 ,   0 ,   2 ) = ( 2 ,   7 ,   - 1 ,   4 )

a ,   2 a ,   a ,   2 a + b ,   b ,   2 b ,   2 b + c ,   3 c ,   0 ,   2 c = ( 2 ,   7 ,   - 1 ,   4 )

Podemos escrever na forma de matriz para facilitar a visualização dos passos futuros.

a b c 2 a b 3 c a 2 b 0 2 a 2 b 2 c = 2 7 - 1 4

a b c 2 a b 3 c a 2 b 0 2 a 2 b 2 c 2 7 - 1 4

Escalonando as matrizes, vamos encontrar a solução do problema

a b c 2 a b 3 c a 2 b 0 2 a 2 b 2 c 2 7 - 1 4 L 2 → L 2 - 2 L 1 L 3 → L 3 - L 1 L 4 → L 4 - 2 L 1

a b c 0 - b c 0 b - c 0 0 0 2 3 - 3 0 L 1 → L 1 + L 2 L 2 → - L 2 L 3 → L 3 + L 2

a 0 2 c 0 b - c 0 0 0 0 0 0 5 - 3 0 0

Encontramos a solução do nosso problema, voltando para o sistema de equações, temos.

a + 2 c = 5 b - c = - 3

Ou seja

a = 5 - 2 c b = c - 3

Temos um sistema possível e indeterminado, então não possui uma única solução.

Passo 3

Para mostrar que o conjunto gerado v , v 1 , v 2 e v 3 é igual ao conjunto gerado por v 1 , v 2 e v 3 , temos que mostrar que o vetor v é linearmente dependente dos vetores ( v 1 , v 2 e v 3 ).

Porém como calculamos anteriormente, vemos que pelo calculo anterior, o sistema contendo v , v 1 , v 2 e v 3 é possível e indeterminado, portanto, sendo um sistema linearmente dependente, assim a base do conjunto v , v 1 , v 2 e v 3 é igual a base do conjunto v 1 , v 2 e v 3 .

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

a = 5 - 2 c b = c - 3

O conjunto v , v 1 , v 2 e v 3 é LD

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