Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Um sistema em 52 variáveis:

(A) com 46   equações tem infinitas soluções.

(B) homogêneo com   57 equações pode ter infinitas soluções.

(C) com 52 equações tem solução única.

(D) com 54 equações não tem solução.

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é uma mais conceitual envolvendo as soluções de um sistema linear. Vamos resolvê-la

Passo 2

Nossa hipótese é que o sistema tem 5 2 equações. Vamos desvendar opção por opção!

A letra a ) diz que se esse sistema tem 46   equação tem infinitas soluções. Nesse caso temos mais variáveis que equações, então poderíamos ter infinitas soluções. Mas não sabemos que equações são essas. Poderíamos ter equações linearmente dependentes, ou até mesmo, equações da forma:

0 x 1 + 0 x 2 + … + 0 x 46 = 1

O que faria com que o sistema não tivesse solução. Logo nada podemos afirmar sobre o número de soluções desse sistema. Com isso, concluímos que a letra a) é falsa

Passo 3

A letra (b) diz que um sistema homogêneo com 52 variáveis e 57 equações pode ter infinitas soluções.

Isso é verdade. Para sistemas homogêneos (aqueles em que todos os lados direitos das equações são zero), se você tiver mais equações do que variáveis, é possível que o sistema tenha infinitas soluções. O excesso de equações pode levar a um sistema redundante, permitindo múltiplas soluções.

Então a letra (b) também é verdadeira, mas vamos continuar analisando as opções!

Passo 4

A letra (c) diz que um sistema homogêneo com 52 variáveis e 52 equações tem solução única.

Essa também parece ser verdadeira, mas para que fosse ela deveria dizer que “um sistema homogêneo com 52 variáveis e 52 equações LINEARMENTE INDEPENDENTES tem solução única.”

Então a letra (c) é falsa!

Passo 5

A letra (d) diz que um sistema homogêneo com 52 variáveis e com 54 equações não tem solução.

Novamente a opção não diz claramente o tipo de equações, elas podem ser LD, LI, de qualquer formato. Então a letra (d) também é falsa!

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

B )

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Prove que vec u = vec 0 harr ‖vec u‖ = 0
Prove que ‖- vec u‖ = ‖vec u‖
Prove que [(A , B) tilde (P , Q) e (C , D) tilde (P , Q)] - (A , B) tilde ( C , D ) .
Mostre que, se A≠ B , então A , B e B , A são de mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário.
(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B