Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Seja B uma base ortonormal de V 3 e considere os vetores:

a → = 2 ,   - 3 ,   - 1 B   e   u → = 1 ,   1 ,   1 B

Se b → = p r o j u → a → e A B C é um triângulo em E 3 tal que B C → = a → e B A → = b → , então a área desse triângulo é igual a:

(a) 38 3

(b) 2 38 3

(c) 38 6

(d) 2 19 3

(e) 4 19 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um triângulo A B C que é formado pelos vetores B C → e B A → e nós precisamos encontrar a área desse triângulo. Pra isso, eles nos disse que B C → = a → e B A ��� = b → , que b → = p r o j u → a → e que a → = 2 ,   - 3 ,   - 1 B   e   u → = 1 ,   1 ,   1 B .

Então, a gente já sabe que B C → = 2 ,   - 3 ,   - 1 B , falta descobrir quem é B A → = b → , calculando a projeção ortogonal de a → sobre u → . Tá, mas como a gente faz isso?

A gente já sabe que a projeção ortogonal pode ser calculada através da expressão:

p r o j u → a → = a → ∙ u → u → 2 u →

No nosso caso, u → = 1 ,   1 ,   1 B e a → = 2 ,   - 3 ,   - 1 B , então temos:

b → = p r o j u → a → = 2 ,   - 3 ,   - 1 B ∙ 1 ,   1 ,   1 B 1 ,   1 ,   1 B 2 ∙ 1 ,   1 ,   1 B

A partir daí, vamos obter o vetor B A → e calcular a área do triângulo usando a expressão:

A = 1 2 B C → ∧ B A →

Onde a gente vai calcular o módulo do produto vetorial entre os dois vetores que compõem o triângulo.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a projeção ortogonal que vai definir o vetor B A → :

B A → = p r o j u → a → = 2 ,   - 3 ,   - 1 B ∙ 1 ,   1 ,   1 B 1 ,   1 ,   1 B 2 ∙ 1 ,   1 ,   1 B

Fazendo o produto escalar entre os vetores no numerador:

p r o j u → a → = 2 ∙ 1 + - 3 ∙ 1 + - 1 ∙ 1 1 ,   1 ,   1 B 2 ∙ 1 ,   1 ,   1 B

p r o j u → a → = - 2 1 ,   1 ,   1 B 2 ∙ 1 ,   1 ,   1 B

Tirando o módulo do vetor no denominador, vamos calcular a raiz quadrada da soma de seus componentes ao quadrado:

p r o j u → a → = - 2 ( 1 2 + 1 1 + 1 1 ) 2 ∙ 1 ,   1 ,   1 B

p r o j u → a → = - 2 3 ∙ 1 ,   1 ,   1 B

Então, B A → = - 2 3 ∙ 1 ,   1 ,   1 B .

Passo 3

Substituindo o resultado que encontramos junto com B C → = 2 ,   - 3 ,   - 1 B na nossa fórmula de área, temos:

A = 1 2 B C → ∧ B A →

A = 1 2 2 ,   - 3 ,   - 1 B ∧ - 2 3 ∙ 1 ,   1 ,   1 B

Colocando os escalares do lado de fora:

A = 1 2 ∙ 2 3 2 ,   - 3 ,   - 1 B ∧ 1 ,   1 ,   1 B

Agora, para calcular esse produto vetorial, precisamos calcular o determinante entre esses dois vetores. Assim:

2 ,   - 3 ,   - 1 B ∧ 1 ,   1 ,   1 B = i j k 2 - 3 - 1 1 1 1

Calculando o determinante:

= - 3 i + 2 k - j + 3 k - 2 j + i

= - 2 i - 3 j + 5 k = ( - 2 ,   - 3 ,   5 )

Substituindo isso na equação da área:

A = 1 2 ∙ 2 3 - 2 ,   - 3 ,   5 B

Multiplicando os escalares:

A = 1 3 - 2 ,   - 3 ,   5 B

Agora só falta tirar o módulo do vetor (calculando a raiz da soma dos seus componentes ao quadrado):

A = 1 3 - 2 2 + - 3 2 + 5 2

A = 1 3 4 + 9 + 25

Portanto,

A = 38 3

Que é a nossa alternativa (A).

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 38 3

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