Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

Ver Teoria

Enunciado

Considere em E 3 um tetraedro regular O A B C de aresta unitária e seja A ' o ponto da semirreta de origem O passando por A tal que

  d ( O ,   A ′ )   =   2 d ( O ,   A ) ,

em que d ( X ,   Y   ) denota a distância entre os pontos X   e   Y . Temos que o produto

escalar dos vetores   O B e A ′ C é igual a:

  1. - 1 / 2
  2. - 1 / 3
  3. 1 / 3
  4. 1
  5. - 1 / 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Nosso objetivo é calcular o produto escalar dos vetores   O B e A ′ C . Onde

O A B C é um tetraedro de aresta unitária, cada aresta tem tamanho 1 . E A ' o ponto da semirreta de origem O passando por A tal que

  d ( O ,   A ′ )   =   2 d ( O ,   A ) ,

Para fazer essa questão, vamos começar desenhando uma face do nosso tetraedro.

Passo 2

Vamos analisar a face abaixo

Agora fica mais fácil de visualizar que podemos escrever A ' C como:

A ' O + O C

Mas o enunciado diz que

  d ( O ,   A ′ )   =   2 d ( O ,   A ) ,

E que A ' pertence à mesma reta que O A . Ou seja, podemos escrever

O A ' = 2 * O A

Dessa forma, como

A ' O = - O A '

Podemos reescrever

  A ' C = A ' O + O C

Como

  A ' C = - 2 O A + O C

Passo 3

Agora que sabemos que

  A ' C = - 2 O A + O C

Podemos retomar a imagem e observar que o ângulo entre as arestas é de 60 ° uma vez que o tetraedro é regular (tem todos as arestas iguais). Dessa forma, como

< u , v > | u | | v | c o s θ

E as arestas tem tamanho 1 então:

< A ' C , O B > = < - 2 O A + O C , O B >

Pela linearidade do produto interno

< - 2 O A + O C , O B > = < - 2 O A , O B > + < O C , O B >

= - 2 c o s ( 60 ° ) + c o s ( 60 ° )

= - 1 / 2

Ou seja,

< A ' C , O B > = - 1 / 2

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que vec u = vec 0 harr ‖vec u‖ = 0
Prove que ‖- vec u‖ = ‖vec u‖
Prove que [(A , B) tilde (P , Q) e (C , D) tilde (P , Q)] - (A , B) tilde ( C , D ) .
Mostre que, se A≠ B , então A , B e B , A são de mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário.
(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B