Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Dados os pontos P 1 ,   2 ,   4 ,   Q ( 2 ,   3 ,   2 ) e R ( 2 ,   1 ,   - 1 ) , determinar as coordenadas de um ponto S tal que os vetores R P → e S Q → sejam paralelos.

Passo 1

O enunciado nos dá 3 pontos: P ,   Q   e   R . E queremos descobrir as coordenadas do ponto S . Mas, como vou achar esse ponto? Qual a condição?

Bom, a condição é a de que os vetores R P → e S Q → sejam paralelos.

Passo 2

Por onde começamos?

Vamos analisar a figura abaixo e alguns conhecimentos que temos sobre vetores paralelos

R P → ∥ S Q →

Pelo o que vimos na teoria sabemos que quando dois vetores são paralelos temos a seguinte relação:

R P → = k S Q →

Passo 3

Então, agora temos os pontos R   e   P para determinar o vetor R P → . Vamos considerar que o ponto S é S = ( x ,   y ,   z ) , como temos o Q conseguimos calcular o vetor S Q → .

Fazendo as contas temos:

R P → = P - R = 1 ,   2 ,   4 - 2 ,   1 ,   - 1 = ( - 1 ,   1 ,   5 )

S Q → = Q - S = 2 ,   3 ,   2 - x ,   y ,   z = ( 2 - x ,   3 - y ,   2 - z )

Utilizando a relação R P → = k S Q → , igualando as coordenadas temos:

R P → = k S Q → →   - 1 ,   1 ,   5 = k ( 2 - x ,   3 - y ,   2 - z )

- 1 = k ( 2 - x )

1 = k ( 3 - y )

5 = k ( 2 - z )

Como o k é uma constante de proporcionalidade que garante que os vetores sejam paralelos e queremos apenas garantir que sejam paralelos, então, podemos escolher qualquer valor de k , pois para k ≠ 0 os vetores irão possuir a mesma direção . Assim, vamos considerar k = 1 , por facilidade das contas:

- 1 = 2 - x → x = 3

1 = 3 - y → y = 2

5 = 2 - z → z = - 3

Pronto, chegamos no resultado!!!

S = ( 3 ,   2 ,   - 3 )

Você deve estar, talvez, se perguntando: E seu alterar os vértices de lugar, muda algo?

Muda sim, o raciocínio é o mesmo, mas as coordenadas do ponto S podem se alterar.

Resposta

S = ( 3 ,   2 ,   - 3 )

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