Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Sejam   u ,   v   ∈   V 3 vetores tais que ∥ u ∥   =   2 ,   ∥ v ∥   =   3 e tais que a medida

do ângulo entre   u   e   v seja igual a π / 3 . Temos que o cosseno do ângulo entre

  u   e   u   −   v

é igual a:

  1. 7 14
  2. 3 7 14
  3. - 2 7 7
  4. - 7 7
  5. - 3 7 14

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bem bacana, pois estaremos trabalhando com produto interno.

Nosso objetivo é verificar o cosseno do ângulo entre

  u   e   u   −   v

mas para isso, temos que ∥ u ∥   =   2 ,   ∥ v ∥   =   3 , e o ângulo entre   u   e   v seja igual a π / 3

Como falei no começo, essa é uma questão que usamos no produto interno. Vocês lembram dele? e de suas propriedades?

Não? Vamos relembrar!!!! Sejam u , v ∈ V então, o produto interno entre os vetores é

< u , v > = | | u | | * | | v | | * c o s ( θ )

onde θ é o ângulo entre os vetores.

E como consequência dessa definição, temos:

< u , u > = | | u | | 2

E como propriedades, temos que o produto interno é bilinear, ou seja,

< a u + b v ,   w > = a < u , w > + b < v , w >

e

< w , a u + b v > = a < u , w > + b < v , w >

Lembraram? Show!!!! Vamos a luta

Passo 2

Agora que fizemos uma revisão, vamos checar nosso objetivo. Queremos o cosseno do ângulo entre

  u   e   u   −   v

Bem usando a definição de produto interno, sabemos que

< u , u - v > = | | u | | * | | u - v | | * c o s ( θ )

Ou seja,

< u , u - v > / | | u | | | | u - v | | = c o s ( θ )

Ora, mas podemos calcular esses fatores, começando pelo numerador, temos:

Usando a linearidade do produto interno

< u , u - v > = < u , u > + < u , - v >

= < u , u > - < u , v >

Usando a definição de produto interno

= | u | 2 - | u | | v | c o s ( π / 3 )

substituindo os valores para os módulos | | u | |   =   2 ,   ∥ v ∥   =   3 e calculando obtemos

< u , u - v > = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o denominador

| | u | | | | u - v | |

Usando a nossa revisão, temos que

| | u | | | | u - v | | = ( < u , u > < u - v , u - v > ) 1 / 2

Vamos resolver essa expressão.

Usando a linearidade do produto interno

< u , u > < v - u , v - u > = | u | 2 * ( < u , u > - 2 < u , v > + < v , v > )

Usando a definição do produto interno:

= | u | 2 ( | u | 2 - 2 | u | | v | c o s ( θ ) + | v | 2 )

Usando o fato que ∥ u ∥   =   2 ,   ∥ v ∥   =   3 , e o ângulo entre   u   e   v seja igual a π / 3

Temos que

< u , u > < v - u , v - u > = | u | 2 ( | u | 2 - 2 | u | | v | c o s ( θ ) + | v | 2 )

= 4 * ( 4 - 6 + 9 )

= 4 * 7

Logo

< u , u - v > / | | u | | | | u - v | | = c o s ( θ )

c o s ( θ ) = 1 2 7

= 7 14

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B