Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Sejam B = e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 , C = f → 1 ,   f → 2 ,   f → 3 bases de V 3 e M a matriz cujas colunas são f → 1 B , f → 2 B e f → 3 B . Se

M = 1 - 1 2 2 - 3 1 3 - 4 4

E se x → ∈ V 3 é tal que x → B = ( 1 ,   2 ,   1 ) e x → C = ( a ,   b ,   c ) para certos a ,   b ,   c ∈ R , então a + b + c é igual a:

(a) 15

(b) 5

(c) - 7

(d) 12

(e) - 5

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu duas bases, B e C , e uma matriz M . Aí ele nos disse que os vetores que compõem a base C quando estão na base B formam as colunas da matriz M . Quê que isso nos lembra? Matriz de mudança base (ou de transformação linear), certo?

Isso porque essa matriz pega o vetor escrito nas coordenadas de uma base e leva ele para o mesmo vetor, só que escrito nas coordenadas de outra base. A gente pode escrever isso assim:

M x → C = x → B

Só que o enunciado disse que x → B é igual a ( 1 ,   2 ,   1 ) e que x → C é igual ao vetor ( a ,   b ,   c ) . Mas a gente quer saber o valor de a + b + c . Então, pra encontrar o vetor ( a ,   b ,   c ) a gente pode usar a matriz inversa de M , porque dessa forma nossa equação fica assim:

M - 1 x → B = x → C

E o que a gente tem é:

M - 1 1 2 1 = a b c

Então, vamos encontrar a matriz inversa de M e depois fazer o produto dessa matriz resultante com o vetor ( 1 ,   2 ,   1 ) pra encontrar o vetor ( a ,   b ,   c ) e somar suas componentes. Uffa!

Vamos lá!

Passo 2

Galera, vamos começar encontrando a matriz inversa de M = 1 - 1 2 2 - 3 1 3 - 4 4 . Pra isso, vamos reduzir a matriz M à matriz identidade I , usando operações por linhas e, simultaneamente, aplicar essas operações a I para produzir M - 1 . Para conseguir isso, juntamos a matriz identidade à direita de M , de forma que teremos uma matriz na forma:

M     I ]

Em seguida, efetuamos operações com as linhas dessa matriz até que o lado esquerdo esteja reduzido a I ; essas operações converterão o lado direito a M - 1 , de modo que a matriz final terá a forma:

I         M - 1 ]

Beleza, então vamos escrever:

1 - 1 2 2 - 3 1 3 - 4 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Vamos começar as operações multiplicando a primeira linha por 2 e subtraindo da segunda linha. Além disso, simultaneamente, vamos multiplicar a primeira linha por 3 e subtrair da terceira linha:

1 - 1 2 2 - 3 1 3 - 4 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L 2 → L 2 - 2 L 1 L 3 → L 3 - 3 L 1 ⟹ 1 - 1 2 0 - 1 - 3 0 - 1 - 2 1 0 0 - 2 1 0 - 3 0 1

Agora vamos multiplicar a segunda linha por - 1 e depois somar a terceira com a segunda linha:

1 - 1 2 0 - 1 - 3 0 - 1 - 2 1 0 0 - 2 1 0 - 3 0 1 L 2 → - L 2 L 3 → L 3 + L 2 ⟹ 1 - 1 2 0 1 3 0 0 1 1 0 0 2 - 1 0 - 1 - 1 1

Agora vamos multiplicar a terceira linha por 3 e subtrair da segunda linha. E vamos multiplicar a terceira linha por 2 e subtrair da primeira linha:

1 - 1 2 0 1 3 0 0 1 1 0 0 2 - 1 0 - 1 - 1 1 L 2 → L 2 - 3 L 3 L 1 → L 1 - 2 L 3 ⟹ 1 - 1 0 0 1 0 0 0 1 3 2 - 2 5 2 - 3 - 1 - 1 1

Só falta zerar um elemento, então vamos somar a primeira com a segunda linha e substituir o resultado na primeira:

1 - 1 0 0 1 0 0 0 1 3 2 - 2 5 2 - 3 - 1 - 1 1 L 1 → L 1 + L 2 ⇒ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 8 4 - 5 5 2 - 3 - 1 - 1 1

Então, achamos nossa matriz inversa:

M - 1 = 8 4 - 5 5 2 - 3 - 1 - 1 1

Passo 3

Agora, para encontrar ( a ,   b ,   c ) , vamos fazer M - 1 1 2 1 = a b c :

8 4 - 5 5 2 - 3 - 1 - 1 1 ∙ 1 2 1 = a b c

Usando as regras da multiplicação entre matrizes, vamos fazer o produto entre a matriz e o vetor da esquerda (multiplicando linha por coluna, lembra?):

8 ∙ 1 + 4 ∙ 2 - 5 ∙ 1 5 ∙ 1 + 2 ∙ 2 - 3 ∙ 1 - 1 ∙ 1 - 1 ∙ 2 + 1 ∙ 1 = a b c

11 6 - 2 = a b c

Então, a = 11 , b = 6 e c = - 2 . Somando as três componentes:

a + b + c = 11 + 6 - 2

a + b + c = 15

Que é a nossa alternativa (A).

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a + b + c = 15

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