Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Considere fixada uma orientação em V 3 . Sejam u → e v → ∈ V 3 tais que

u → = 26 ,   v → = 4   e   v → ∧ u → = 96 .

Se o ângulo entre u → e v → é obtuso, então u → ∙ v → é igual a:

(a) - 40

(b) - 20

(c) 20

(d) - 22

(e) - 38

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu dois vetores u → e v → , que pertecem a um espaço vetorial V 3 , e possuem um ângulo obtuso entre eles. Ele nos disse também que o módulo do vetor u → é 26 , o módulo do vetor v → é 4 e que o módulo do produto vetorial entre eles é 96 .

Nós precisamos determinar o valor do produto escalar desses vetores (que também gera um escalar). Lembra como a gente calcula esse produto? Ele dado pela relação entre o comprimento de cada vetor e o ângulo entre eles, isso aqui:

u → ∙ v → = u → v → cos ⁡ θ

O comprimento de cada vetor, u → e v → , a gente já conhece, só falta descobrir o ângulo θ . É aí que entra o valor do produto vetorial que ele deu, porque o produto vetorial pode ser calculado pela expressão:

v → ∧ u → = v → u → sin ⁡ θ

Se a gente isolar o seno, fica assim:

sin ⁡ θ = v → ∧ u → v → u →

E agora a gente sabe o valor de todo mundo que tá ali na fração, então fica fácil determinar o valor do seno. Tá como é que isso nos ajuda, se a gente quer o cosseno do ângulo? Porque aí, basta a gente usar a relação trigonométrica cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ , e teremos o valor do cosseno, sacou? Substitundo na equação do produto escalar, vamos encontrar nossa resposta.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o seno do ângulo através do produto vetorial:

sin ⁡ θ = v → ∧ u → v → u →

Nós sabemos que u → = 26 ,   v → = 4   e   v → ∧ u → = 96 . Substituindo, vamos obter:

sin ⁡ θ = 96 4 ∙ 26 = 96 104

Simplificando a fração:

sin ⁡ θ = 12 13

Passo 3

Beleza, agora, como queremos descobrir o valor do cosseno do ângulo, vamos usar a identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Substituindo o valor do seno (não esqueça de elevar ao quadrado, por causa da identidade), que calculamos no passo 2 , temos:

cos 2 ⁡ θ = 1 - 12 13 2

Logo,

cos 2 ⁡ θ = 1 - 144 169

cos 2 ⁡ θ = 25 169

Se o cosseno ao quadrado é igual a 25 169 , para descobrir o valor do cosseno, basta tirar a raiz quadrada:

cos ⁡ θ = 25 169 = 5 13

Mas, lembra que o enunciado falou que o ângulo entre os vetores é obtuso? Os ângulos obtusos medem mais de 90 ° e o cosseno de um ângulo obtuso é o oposto do cosseno do suplemento desse ângulo, então basta a gente mudar o sinal:

cos ⁡ θ = - 5 13

Passo 4

Agora podemos calcular o produto escalar entre os vetores u → e v → , usando a expressão:

u → ∙ v → = u → v → cos ⁡ θ

Lembrando que u → = 26 ,   v → = 4 e cos ⁡ θ = - 5 13 . Logo:

u → ∙ v → = 26 ∙ 4 ∙ - 5 13

Multiplicando os termos:

u → ∙ v → = - 520 13

u → ∙ v → = - 40

Que é a nossa alternativa (A).

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

u → ∙ v → = - 40

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