Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Considere fixado um sistema de coordenadas Σ   =   ( O ,   H )   e m   E 3 , em que H é uma base ortonormal de V 3 e sejam A ,   B ,   C ,   D   ∈   E 3 os pontos dados por

A   =   ( 2 ,   1 ,   0 ) ,   B   =   ( − 1 ,   3 ,   2 ) ,   C   =   ( 3 ,   − 1 ,   1 ) ,   D   =   ( 2 ,   − 1 ,   4 ) .

Seja r a reta que passa pelo ponto D e é ortogonal tanto à reta que passa pelos pontos A   e   B como à reta que passa pelos pontos   A   e   C . Assinale a alternativa correspondente a uma equação para r:

(a) X   =   ( − 4 ,   − 6 ,   0 )   +   λ ( 6 ,   5 ,   4 ) ,   λ   ∈   R

(b) X   =   ( 2 ,   − 1 ,   4 )   +   λ ( 3 ,   2 ,   − 1 ) ,   λ   ∈   R

(c) X   =   ( 2 ,   − 1 ,   4 )   +   λ ( 4 ,   2 ,   3 ) ,   λ   ∈   R

(d) X   =   ( − 4 ,   − 6 ,   0 )   +   λ ( 4 ,   2 ,   3 ) ,   λ   ∈   R

(e) X   =   ( 2 ,   3 ,   − 1 )   +   λ ( 6 ,   5 ,   4 ) ,   λ   ∈   R

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa parece ser difícil por conta do enunciado. Mas é bem tranquilinha. Vem comigo!

Bem nós queremos encontrar a reta r , e para isso sabemos que ela passa pelo ponto D . Mas temos mais informações disponíveis. Sabemos que a reta r é ortogonal a duas outras retas, que são as retas que passam por A   e   B e por A   e   C . Mas ora, se r é ortogonal a essas retas, então o vetor diretor de r será ortogonal aos vetores diretores das outras retas. E juntando essa informação com o fato de r passar por D podemos escrever a equação da reta.

A   =   ( 2 ,   1 ,   0 ) ,   B   =   ( − 1 ,   3 ,   2 ) ,   C   =   ( 3 ,   − 1 ,   1 ) ,   D   =   ( 2 ,   − 1 ,   4 ) .

Passo 2

Vamos começar obtendo os vetores diretores das retas que passam por A   e   B e por A   e   C

Se uma reta passa por dois pontos, sua equação é dada por

( A - B ) t + A   ;   t ∈ R

Logo, a nossa primeira reta é

( 2 ,   1 ,   0 ) +   ( 3 , - 2 , - 2 ) t

A nossa segunda reta é

( 2 ,   1 ,   0 ) +   ( - 1,2 , - 1 ) t

Dessa forma, os vetores diretores são

  ( 3 , - 2 , - 2 )

e

  ( - 1,2 , - 1 )

Como falamos no passo 1, o vetor diretor de r é ortogonal a esses dois vetores, logo ele será dado pelo produto vetorial.

  ( - 1,2 , - 1 )   ∧   ( 3 , - 2 , - 2 )

que é igual a

( 6   , 5   , 4   )

Passo 3

Agora que sabemos que o vetor diretor da reta r é ( 2   , 2   , 1   ) . Vamos usar o fato que a reta passa pelo ponto D   =   ( 2 ,   − 1 ,   4 ) e escrever sua equação. Juntando as duas informações, temos que

r   :     ( 2 ,   − 1 ,   4 ) + ( 6,5 , 4 ) t   ;   t ∈ R

Temos que decidir se r é a reta em (a) ou a reta em (e). Para isso, tomamos um ponto de r , por exemplo, A   =   ( 2 ,   − 1 ,   4 )   ∈   r . O ponto A não pertence à reta em (e), pois

( 2 ,   − 1 ,   4 )   =   ( 2 ,   3 ,   − 1 ) + λ ( 6 ,   5 ,   4 )  

não possui solução.

Por outro lado, o ponto A pertence à reta em (a), pois

( 2 ,   − 1 ,   4 )   =   ( − 4 ,   − 6 ,   0 )   +   λ ( 6 ,   5 ,   4 )

possui solução ( λ   =   1 ).

Portanto a alternativa correta é a letra a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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Prove que vec u = vec 0 harr ‖vec u‖ = 0
Prove que ‖- vec u‖ = ‖vec u‖
Prove que [(A , B) tilde (P , Q) e (C , D) tilde (P , Q)] - (A , B) tilde ( C , D ) .
Mostre que, se A≠ B , então A , B e B , A são de mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário.
(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B