Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores u → = ( m + 1 ,   3 ,   1 ) e v → = ( 4 ,   2 ,   2 n - 1 ) .

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores: v → e u → . Mas, as coordenadas desses vetores dependem de duas variáveis, m e n , que devemos determinar. Mas com que condição?

Com a condição de que os vetores u → e v → sejam paralelos. Ué, mas o que isso me ajuda?

Ajuda, pois vimos na teoria que dois vetores são paralelos se são múltiplos entre si. Não lembra? Assim oh,

u → = k v →

Lembrou?

Passo 2

Então, temos:

m + 1 ,   3 ,   1 = k ( 4 ,   2 ,   2 n - 1 )  

Multiplicando k por cada coordenada:

m + 1 ,   3 ,   1 = ( 4 k ,   2 k ,   k 2 n - 1 )

Agora é o seguinte, como esses vetores são paralelos, pra algum valor de k eles vão ser iguais, então vamos igualar as coordenadas uma a uma, ou seja, a primeira coordenada do lado esquerdo deve ser igual a primeira coordenada do lado direito e por aí vai hehe isso vai nos dar o seguinte:

m + 1 = 4 k 3 = 2 k 1 = k ( 2 n - 1 )

Passo 3

Bom, temos três expressões para 3 incógnitas. Agora, é resolver. Da segunda equação:

3 = 2 k

k = 3 2

Substituindo k na primeira equação:

m + 1 = 4.3 2

m + 1 = 6

m = 5

Substituindo k na terceira equação:

1 = 3 2 2 n - 1

2 n - 1 = 2 3

2 n = 5 3

n = 5 6

Aeee, encontramos os valores de m e n pros vetores serem paralelos :D

Lembrando que como k = 3 2 , isso quer dizer que se substituirmos esse valor de k , os vetores vão ser iguais. Mas se k for qualquer múltiplo de 3 2 (como 6 4 ), os vetores continuam sendo paralelos, mas com comprimentos diferentes ;)

Resposta

m = 5   e   n = 5 6

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