Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Considere os vetores v →   =   ( 3 ,   - 4 ) e u →   =   ( 4 ,   0 )

(c) Determine um vetor de mesma direção que u →   e comprimento igual a 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente determinar um vetor que tenha a mesma direção de u → , ou seja, o vetor precisa ser paralelo a u → , beleza? Ah, e ele também precisa ter comprimento (módulo) igual a 2 , beleza?

Quando dois vetores são paralelos, nós podemos escrever um como combinação linear do outro:

  u → = k   w →

Onde k ≠ 0 .

Nós já conhecemos o vetor u → = ( 4,0 ) . Vamos chamar o vetor w → de ( w 1 ,   w 2 ) . Então vamos encontrar as componentes w 1 e w 2 do vetor.

Passo 2

Vamos escrever nossos vetores na forma

  u → = k   w →

Substituindo as componentes dos vetores:

4 ,   0 = k ( w 1 ,   w 2 )

4 ,   0 = ( k w 1 ,   k w 2 )

Como esses vetores são paralelos, para algum valor de k eles vão ser iguais. Então vamos igualar as coordenadas uma a uma:

k w 1 = 4 k w 2 = 0

Como, por definição, k não pode ser zero, temos:

w 2 = 0

Mas quem é w 1 ? Bom, nós sabemos que o módulo desse vetor é igual a 2 , ou seja:

w → = w 1 2 + w 2 2 = 2

Nós já conhecemos w 2 :

w 1 2 + 0 2 = 2

Logo,

w 1 2 = 2 → w 1 = 2

E temos o nosso vetor w → = ( 2 ,   0 ) , que possui a mesma direção de u → = ( 4 ,   0 ) .

Até a próxima, galera! 😉

Resposta

w → = ( 2 ,   0 )

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Prove que vec u = vec 0 harr ‖vec u‖ = 0
Prove que ‖- vec u‖ = ‖vec u‖
Prove que [(A , B) tilde (P , Q) e (C , D) tilde (P , Q)] - (A , B) tilde ( C , D ) .
Mostre que, se A≠ B , então A , B e B , A são de mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário.
(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B