Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Considere a reta r de equação

r : X = 7 , - 5,0 + λ - 1,2 , 1 ,     λ ∈ R

E seja Q = ( a , b , c ) o ponto simétrico ao ponto P = ( 1,1 , 0 ) em relação a r, isto é, o ponto Q tal que P Q → seja ortogonal a r e o ponto médio do segmento PQ esteja em r. Temos que a + b + c é igual a:

a ) 41 3

b )   13

c )   14

d ) 25 3

e ) 40 3

Passo 1

Faaaaalaaa, blz???? E bora começar mais uma provinha, dessa vez começamos com uma questão envolvendo ponto simétrico em relação a uma reta.

Bom, essa questão meio que ajuda a gente, ela explica certinho o que significa ser simétrico e da alguns detalhes legais. Bora usar o que a questão nos disse?

“ o   p o n t o   Q   t a l   q u e   P Q →   s e j a   o r t o g o n a l   a   r ”

Como nós podemos usar essa informação? Para começar, vamos lembrar que olhando para a equação parametrizada da reta, conseguimos tirar o vetor diretor da reta, nesse caso, como r : X = 7 , - 5,0 + λ - 1,2 , 1 →   r → = - 1,2 , 1 é paralelo a r.

Agora temos duas opções, podemos olhar de fato para o vetor P Q → e usarmos o fato da ortogonalidade junto com produto escalar, porém se fizermos isso acharemos uma equação com ( a , b , c ) , mas não acharemos eles de fato, outra coisa que podemos fazer é olhar para o vetor P A → , onde A é o ponto de r, no meio do segmento PQ.

Passo 2

Primeiro, temos que por conta A   ∈ r → A = ( 7 - λ ,   - 5 + 2 λ ,   λ )

Achando o vetor que nos interessa:

P A → = A - P = ( 6 - λ ,   - 6 + 2 λ ,   λ )

Usando que P A → ⊥ r →   P A →   ∙   r → = 0   ∴ 6 - λ - 1 + - 6 + 2 λ 2 + 1 λ = 0

Ou seja:

- 6 + λ - 12 + 4 λ + λ = 0 → λ = 3  

Passo 3

Agora temos que λ = 3   →   A = 7 - λ ,   - 5 + 2 λ ,   λ =     4,1 , 3

E agora, usando mais uma informação do enunciado, podemos usar o fato de que:

A = P + Q 2   → 2 A = P + Q

Logo

2 4,1 , 3 = 8,2 , 6 = 1,1 , 0 + a , b , c → a , b , c = ( 7,1 , 6 )

Com isso, temos que a + b + c = 14

E assim terminamos a primeira questãozinha dessa prova, agora podemos agradecer o enunciado por ter nos dado as dicas do q fazer nela, bora para o próximo problema??

Resposta

Letra C

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que vec u = vec 0 harr ‖vec u‖ = 0
Prove que ‖- vec u‖ = ‖vec u‖
Prove que [(A , B) tilde (P , Q) e (C , D) tilde (P , Q)] - (A , B) tilde ( C , D ) .
Mostre que, se A≠ B , então A , B e B , A são de mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário.
(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B