Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Seja B uma base ortonormal de V 3 e considere um triângulo A B C em E 3 tal que:

A C → = 1 ,   - 1 ,   3 B     e     B C → = 2 ,   1 ,   - 1 B .

Temos que o comprimento da altura desse triângulo relativa à base B C é igual a:

(a) 31 3

(b) 17 3

(c) 7 3

(d) 5 3

(e) 1 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu um triângulo A B C que tem a base B C dada por B C → = 2 ,   1 ,   - 1 B . Um outro lado desse triângulo é dado por A C → = 1 ,   - 1 ,   3 B . E nós precisamos encontrar a altura do triângulo.

A gente sabe da geometria, que a área do triângulo é dada pela metada do produto do comprimento da base pela altura, ou seja:

A = 1 2 ∙ b a s e ∙ a l t u r a

Só que nossa base é o módulo do vetor B C → . Chamando a altura de h , temos:

A = 1 2 B C → h

Mas a gente também pode calcular essa área fazendo o produto vetorial entre dois dos vetores que formam o triângulo, assim:

A = 1 2 C A   → ∧ C B →

Então, nós vamos usar as duas fórmulas pra calcular a área e extrair o valor da altura h igualando as duas.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a área do triângulo pela equação:

A = 1 2 B C → h

O enunciado nos deu o vetor B C → = 2 ,   1 ,   - 1 B . Então, vamos tirar o módulo dele, calculando a raiz da soma dos seus componentes ao quadrado:

B C → = 2 2 + 1 2 + - 1 2 = 6

Substituindo na fórmula de área:

A = 1 2 ∙ 6 h

A = 6 2 h

Passo 3

Agora vamos usar a outra fórmula da área do triângulo:

A = 1 2 C A   → ∧ C B →

O enunciado nos deu A C → = 1 ,   - 1 ,   3 B     e     B C → = 2 ,   1 ,   - 1 B , pra encontrar C A   → e C B → basta trocar o sinal das componentes de cada vetor:

C A   → = - 1 ,   1 ,   - 3 B

C B → = - 2 ,   - 1 ,   1 B

Substituindo na fórmula de área:

A = 1 2 - 1 ,   1 ,   - 3 B ∧ - 2 ,   - 1 ,   1 B

Lembra como a gente calcula o produto vetorial entre dois vetores? Nós vamos precisar montar uma matriz com esses vetores e calcular o determinante dela, assim:

- 1 ,   1 ,   - 3 B ∧ - 2 ,   - 1 ,   1 B = i j k - 1 1 - 3 - 2 - 1 1

Calculando o determinante:

i + 6 j + k + 2 k - 3 i + j

Lembra que i , j e k definem as posições da componente do vetor, né? Então, vamos somar cada componente:

= - 2 i + 7 j + 3 k

= - 2 ,   7 ,   3 B

Substituindo na equação da área, temos:

A = 1 2 - 1 ,   1 ,   - 3 B ∧ - 2 ,   - 1 ,   1 B

A = 1 2 - 2 ,   7 ,   3 B

Agora a gente calcula o módulo do vetor - 2 ,   7 ,   3 B da mesma forma que no passo 2 :

A = 1 2 - 2 2 + 7 2 + 3 2 = 62 2

Passo 4

Agora vamos juntar esses resultados. No passo 2 , nós encontramos A = 6 2 h e no passo 3 encontramos A = 62 2 . Igualando os dois resultados, temos:

6 2 h   = 62 2

Simplificando:

6 h = 62

Isolando h :

h = 62 6 = 31 3

Que é a nossa alternativa (A).

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

h = 31 3

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Prove que vec u = vec 0 harr ‖vec u‖ = 0
Prove que ‖- vec u‖ = ‖vec u‖
Prove que [(A , B) tilde (P , Q) e (C , D) tilde (P , Q)] - (A , B) tilde ( C , D ) .
Mostre que, se A≠ B , então A , B e B , A são de mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário.
(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B