Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

Ver Teoria

Enunciado

Considere fixada uma orientação em V 3 . Sejam x → e y → ∈ V 3 , α ∈ R e considere o vetor v → ∈ V 3 dado por

v → = α x → - 2 y → ∧ 5 x → + 3 y → .

Se x → = 1 3 , y → = 2 , v → = 7 e a medida do ângulo entre x → e y → é igual a 2 π 3 , então pode-se afirmar que:

(a) α = - 1 ou α = - 17 3

(b) α = - 1 ou α = - 14 3

(c) α = - 14 3 ou α = - 17 3

(d) α = 1 ou α = - 17 3

(e) α = - 1 ou α = 17 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu os vetores x → , y → e v → , que pertecem a um espaço vetorial V 3 . Nós sabemos que o módulo do vetor x → é 1 3 , o módulo do vetor y → é 2 e que o ângulo entre eles é 2 π 3 . A gente sabe também que o módulo do vetor v → é igual a 7 e que ele é definido pela equação:

v → = α x → - 2 y → ∧ 5 x → + 3 y → .

Nós precisamos encontrar o valor dessa constante α e aparece em v → . Pra isso, nós vamos usar algumas propriedades do produto vetorial, de modo que a gente consiga isolar α na equação e usar os dados que o enunciado nos deu para encontrar seu valor.

Vamos lá!

Passo 2

Galera, uma das propriedades do produto vetorial, usando a soma entre vetores, é dada da seguinte forma:

u → 1 + u → 2 ∧ v → = u → 1 ∧ v → + u → 2 ∧ v →

Ela também pode ser escrita dessa forma:

u → ∧ v → 1 + v → 2 = u → ∧ v → 1 + u → ∧ v → 2

Então, podemos ir “demembrando” o produto vetorial em v → , que o enunciado nos deu, usando essa propriedade. Dessa forma,temos:

v → = α x → - 2 y → ∧ 5 x → + 3 y →

v → = α x → - 2 y → ∧ 5 x → + α x → - 2 y → ∧ ( 3 y → )

v → = α x → ∧ 5 x → + - 2 y → ∧ 5 x → + α x → ∧ 3 y → + ( - 2 y → ) ∧ ( 3 y → )

Agora a gente tem outra propriedade interessante. Quando dois vetores são linearmente dependentes (LD), o produto vetorial entre eles é zero. E uma das formas de identificar que eles são LD é quando os vetores são proporcionais (combinação linear um do outro).

Agora repare que na nossa expressão, temos α x → ∧ 5 x → e ( - 2 y → ) ∧ ( 3 y → ) , que são combinação linear um do outro em cada produto vetorial, então podemos dizer que esse produto é 0 , eliminando esses termos vamos ter:

v → = - 2 y → ∧ 5 x → + α x → ∧ 3 y →

Agora, será que dá pra juntar os termos semelhantes? Dá sim, se a gente lembrar de uma propriedade de multiplicação por escalar, que vamos chamar de β , e que tem a forma:

β u → ∧ v → = u → ∧ β v → = β ( u → ∧ v → )

No nosso caso, nossos escalares são - 2 e 5 , α e 3 . Então, usando a propriedade, nossa expressão fica assim:

v → = - 2 ∙ 5 y → ∧ x → + α ∙ 3 ( x → ∧ y → )

v → = - 10 y → ∧ x → + 3 α ( x → ∧ y → )

Agora a gente tem os termos mais ou parecidos dentro dos parênteses, né? Mas a gente pode deixar eles com mesma carinha usando outra propriedade do produto vetorial, que diz que v → ∧ u → = - u → ∧ v → . Então, podemos escrever:

v → = 10 x → ∧ y → + 3 α ( x → ∧ y → )

E aí podemos colocar ( x → ∧ y → ) em evidência:

v → = ( 10 + 3 α ) x → ∧ y →

Passo 3

Tá, mas a gente ainda não tem o valor de α , que é o objetivo da questão. Então, vamos olhar o que mais o enunciado nos dá de informação. Ele nos diz que v → = 7 e nós encontramos v → = ( 10 + 3 α ) x → ∧ y → , então, colocando a expressão em módulo, podemos dizer que:

7 = ( 10 + 3 α ) x → ∧ y →

Como a soma 10 + 3 α é de escalares, podemos escrever:

7 = 10 + 3 α x → ∧ y →

Lembra da definição de produto vetorial? Se não lembra, não tem problema, porque ela pode ser dada pela equação:

x → ∧ y → = x → y → sin ⁡ θ

Então, vamos substituir essa definição na equação:

7 = 10 + 3 α x → y → sin ⁡ θ

Nós sabemos que x → = 1 3 , que y → = 2 e que o ângulo entre esses dois vetores é igual a 2 π 3 . Substituindo, vamos obter:

7 = 10 + 3 α 1 3 ∙ ( 2 ) sin ⁡ 2 π 3

E sin ⁡ 2 π 3 = 3 2 , então temos:

7 = 10 + 3 α 1 3 ∙ 2 ∙ 3 2

Simplificando:

7 = 10 + 3 α

Passo 4

Galera, pela definição de função modular:

x - b = x - b ,     s e   x - b ≥ 0 - x - b ,     s e   x - b < 0

Então, para 10 + 3 α temos duas opções:

10 + 3 α = 7

Ou

- 10 - 3 α = 7

Na primeira opção, isolando α vamos ter:

3 α = 7 - 10 → α = - 1

E na segunda opção:

- 3 α = 7 + 10 → α = - 17 3

Então, α = - 1 ou α = - 17 3 . Que é a nossa alternativa (A).

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

α = - 1   o u   α = - 17 3

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que vec u = vec 0 harr ‖vec u‖ = 0
Prove que ‖- vec u‖ = ‖vec u‖
Prove que [(A , B) tilde (P , Q) e (C , D) tilde (P , Q)] - (A , B) tilde ( C , D ) .
Mostre que, se A≠ B , então A , B e B , A são de mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário.
(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B