Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Considere fixado um sistema de coordenadas Σ   =   ( O , �� H )   e m   E 3 , em que H é uma base ortonormal de V 3 . Sabe-se que as retas

são concorrentes. Seja t a reta ortogonal a r e a s que passa pelo ponto de interseção entre r   e   s . Assinale a alternativa correspondente a um ponto que pertence a t :

(a) ( 8 ,   7 ,   2 )

(b) ( 15 ,   7 ,   2 )

(c) ( 1 ,   7 ,   1 )

(d) ( 0 ,   7 ,   0 )

(e) ( 15 ,   7 ,   4 )

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bacana, vamos nessa

temos duas retas CONCORRENTES

t

mas queremos saber qual dos pontos pertencem a reta t , sabendo que t passa pela interseção de r   e   s e é ortogonal a r   e   s . Bem, vamos começar calculando a interseção das duas retas

Passo 2

queremos a interseção entre

bem, a interseção é onde as coordenadas são iguais, então temos

3 + λ = - 3 + 2 t

- 2 - 2 λ = 4 - t

1 + λ = 5 - 3 t

colocando as variáveis para o mesmo lado

λ - 2 t = - 6

- 2 λ + t = 6

λ + 3 t = 4

multiplicando a terceira equação por 2 e somando a segunda, temos:

7 t = 14

⇒ t = 2

substituindo na segunda equação, temos que

λ = - 2

e substituindo os dois valores na primeira equação, podemos ver que a igualdade é válida. Logo a interseção das duas retas é o ponto

( 3 + λ ;   - 2 - 2 λ ;   1 + λ ) = ( 1 ,   2 ,   − 1 ) .

Passo 3

Agora vamos obter o vetor diretor da reta t . Bem para isso, precisamos dos vetores diretores das outras retas. Como

temos que

r :   ( 3 , - 2,1 )   +   ( 1 , - 2,1 ) t   ;   t   ∈ R

s :   ( - 3,4 , 5 )   +   ( 2 , - 1 , - 3 ) t   ;   t   ∈ R

Dessa forma, como t é perpendicular a essas duas retas, seu vetor diretor será perpendicular aso vetores diretores de r   e   s . Que são:

( 1 , - 2,1 )   e   ( 2 , - 1 , - 3 )

Como obtemos o vetor perpendicular a esses dois? Usamos o produto veotrial. O vetor ortogonal será dado por

( 1 , - 2,1 )   ∧   ( 2 , - 1 , - 3 )

= ( 7 ,   5 ,   3 ) .

Passo 4

Agora que temos o vetor diretor e um ponto pertencente à reta. Podemos montar a equação da reta. Temos que

t : ( 1 ,   2 ,   − 1 ) + ( 7 ,   5 ,   3 ) λ ;   λ ∈ R  

Mas queremos marca a alternativa que representa um ponto pertencente à reta. E agora?

Ora, note que fazendo λ = 1 , obtemos o ponto da reta

( 1 ,   2 ,   − 1 ) + ( 7 ,   5 ,   3 ) = ( 8,7 , 2 )

Que está presente na alternativa a )

portanto, a alternativa correta é a letra a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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Prove que vec u = vec 0 harr ‖vec u‖ = 0
Prove que ‖- vec u‖ = ‖vec u‖
Prove que [(A , B) tilde (P , Q) e (C , D) tilde (P , Q)] - (A , B) tilde ( C , D ) .
Mostre que, se A≠ B , então A , B e B , A são de mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário.
(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B