Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Seja p ( x ) um polinômio de grau 2 que passa pelos pontos   ( 1 ,   4 ) ,   ( 2 ,   8 )   e   ( 3 ,   16 ) . Então   p ( − 1 ) vale:

(A) 5

(B) 8

(C) 6

(D) 7

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Dessa vez temos que calcular o valor de um polinômio de grau 2 que passa pelos pontos   ( 1 ,   4 ) ,   ( 2 ,   8 )   e   ( 3 ,   16 ) .

Para isso, vale lembrar que dados n + 1 pontos existem um único polinômio de grau n que passa por estes pontos.

Vamos a luta!

Passo 2

Bem, temos um polinômio de grau 2 . Então ele é da seguinte forma

p ( x ) = a x 2 + b x + c

certo?

Além disso sabemos que ele passa pelos pontos   ( 1 ,   4 ) ,   ( 2 ,   8 )   e   ( 3 ,   16 ) . Então, vamos plugar esses valores na equação do polinômio. Fazendo isso para cada ponto obtemos

4 = a + b + c

8 = 4 a + 2 b + c

16 = 9 a + 3 b + c

Ou seja, temos um sistema de equações nos coeficientes do polinômio. Vamos resolver esse sistema

Passo 3

Queremos a solução do sistema

4 = a + b + c

8 = 4 a + 2 b + c

16 = 9 a + 3 b + c

Fazendo L 3 - 3 L 1 obtemos

4 = 6 a - 2 c

Fazendo L 2 - L 1 obtemos

4 = 3 a + b

Fazendo L 3 - L 2 obtemos

8 = 5 a + b

Agora, vamos começar descobrindo o valor de a . Como

4 = 3 a + b

8 = 5 a + b

subtraindo as equações, tem-se

4 = 2 a

⇒ a = 2

Agora, vamos substituir esse valor de a nas demais equações

4 = 3 a + b

⇒ 4 = 6 + b

Logo

b = - 2

E por fim, temos que

4 = 6 a - 2 c

⇒ 4 = 12 - 2 c

⇒ c = 4

Dessa forma, nosso polinômio é :

p ( x ) = 2 x 2 - 2 x + 4

Passo 4

Mas não queremos o polinômio queremos calcular p ( - 1 ) . Ora então só precisamos substituir x para encontrar esse valor. Como

p ( x ) = 2 x 2 - 2 x + 4

⇒ p ( - 1 ) = 2 + 2 + 4

= 8

Valor presente na alternativa b )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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