Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Sejam u → ,   v → e w → ∈ V 3 tais que u → = 1 , v → = 2 e w → = 2 . Suponha que a medida do ângulo entre u → e v → seja igual a π 3 e que a medida do ângulo entre u → e w → seja igual a π 4 . Temos que a projeção ortogonal de u → + v → - 2 w → sobre u → é igual a:

(a) 0 →

(b) - 2 u →

(c) u →

(d) - 3 u →

(e) - u →

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu três vetores que pertencem ao mesmo espaço vetorial V 3 , e cujo os módulos são dados por u → = 1 , v → = 2 e w → = 2 . Ele nos deu também o ângulo entre esses vetores, e a gente precisa determinar a projeção ortogonal de u → + v → - 2 w → sobre u → .

Mas o que é uma projeção ortonogonal mesmo? Nada mais é do que uma transformação que projeta um vetor, no caso o resultante da equação u → + v → - 2 w → , sobre outro, no caso u → , em um mesmo espaço vetorial. A gente pode representar isso assim:

p r o j u → u → + v → - 2 w →

Só que por definição, uma projeção ortogonal é dada por:

p r o j a → b → = b → ∙ a → a → 2 a →

No nosso caso, a → = u → e b → = ( u → + v → - 2 w → ) , então temos:

p r o j u → u → + v → - 2 w → = ( u → + v → - 2 w → ) ∙ u → u → 2 ∙ u →

Então, é isso que nós vamos calcular, prestando atenção nas propriedades do produto escalar e usando os ângulos entre os vetores que o enunciado nos deu.

Vamos lá!

Passo 2

Beleza, então nós temos:

p r o j u → u → + v → - 2 w → = ( u → + v → - 2 w → ) ∙ u → u → 2 ∙ u →

A gente pode começar aplicando a propriedade distributiva pra realizar o produto entre cada termo do parênteses:

p r o j u → u → + v → - 2 w → = u → ∙ u → + v → ∙ u → - 2 w → ∙ u → u → 2 ∙ u →

Agora a gente precisa lembrar da definição de produto escalar entre dois vetores, que é dado pela expressão:

A → ∙ B → = A → B → cos ⁡ θ

onde θ é o ângulo formado entre os vetores. Se os dois vetores forem iguais, o ângulo entre eles é zero, então temos:

A → ∙ A → = A → A → cos ⁡ 0 = A → 2

Aplicando isso na nossa expressão pra projeção ortogonal, temos:

p r o j u → u → + v → - 2 w → = u → 2 + v → u → cos ⁡ θ - 2 w → u → cos ⁡ θ u → 2 ∙ u →

Mas o enunciado nos disse que a medida do ângulo entre u → e v → é igual a π 3 e que a medida do ângulo entre u → e w → é igual a π 4 , então temos:

p r o j u → u → + v → - 2 w → = u → 2 + v → u → cos ⁡ π 3 - 2 w → u → cos ⁡ π 4 u → 2 ∙ u →

Além disso, nós sabemos que u → = 1 , v → = 2 e w → = 2 . Substituindo essa informações na equação e calculando os cossenos, obtemos:

p r o j u → u → + v → - 2 w → = 1 2 + 2 ∙ 1 ∙ 1 2 - 2 2 ∙ 1 ∙ 2 2 1 2 ∙ u →

Resolvendo os produtos:

p r o j u → u → + v → - 2 w → = 0 1 ∙ u →

Portanto,

p r o j u → u → + v → - 2 w → = 0 →

Que é a nossa alternativa (A).

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

p r o j u → u → + v → - 2 w → = 0 →

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