Exercícios Resolvidos de Introdução aos Vetores

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Enunciado

Sejam dados vetores distintos u ,   v   ,   w   em V 3 e seja   C   =   { u ,   v ,   w}. Considere as seguintes afirmações:

(I) se   3 u   −   2 v   +   4   w   =   0 , então C é linearmente dependente;

(II) se w é ortogonal a u e a v , então C é linearmente independente;

(III) se C é linearmente dependente, então existem α ,   β   ∈   R tais que w é igual

a α u   +   β v .

Está correto o que se afirma em:

  1. Somente em 1
  2. 1 e 3 apenas
  3. 1,2 e 3
  4. 1 e 2 apenas
  5. 2 e 3 apenas

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é bem bacana, pois estaremos trabalhando com o conceito de dependência de vetores.

Nosso objetivo é verificar quais das afirmações sobre o conjunto   C   =   { u ,   v ,   w} são verdadeiras.

Como falei no começo, essa é uma questão de dependência entre vetores. Vocês lembram quando um conjunto de vetores é dependente?

Não? Vamos relembrar!!!! Sejam u , v , w ∈ V , então esse conjunto é dependente se, e somente se,

podemos escrever algum desses vetores como uma combinação linear dos demais. Ou seja se existem soluções não triviais para a , b , c (os três não podem ser zero simultaneamente) tais que

a u + b v + c w = 0

Lembraram? Show!!!! Vamos a luta

Passo 2

Agora que fizemos uma revisão, vamos checar as afirmativas. Começando pela primeira

se   3 u   −   2 v   +   4   w   =   0 , então C é linearmente dependente;

E aí? É verdade essa afirmação? Bem checando a nossa revisão temos que um conjunto é linearmente dependente se existem soluções não triviais para a , b , c (os três não podem ser zero simultaneamente) tais que

a u + b v + c w = 0

Ora, mas temos uma solução da forma

  3 u   −   2 v   +   4   w   =   0

Ou seja, esse conjunto   C   =   { u ,   v ,   w} é linearmente dependente (LD)

Agora, vamos para a segunda afirmação

Passo 3

Se w é ortogonal a u e a v , então C é linearmente independente;

Agora, temos um vetor que é ortogonal. Então vem a pergunta, se um vetor é ortogonal aos demais vetores, ele pode ser escrito como uma combinação linear deles? A resposta é não, se dois vetores são ortogonais eles são independentes. Tome por exemplo a base padrão do R 2 .

Então temos que w é linearmente independente dos demais vetores. Mas isso implica que o conjunto   C   =   { u ,   v ,   w} seja LI? Não né? Pois não sabemos sobre nenhuma relação entre u   e   v , nada impede que u   =   k v , ou seja, não podemos garantir que eles sejam LI. Logo essa afirmação é falsa.

E para finalizar, vamos para a terceira afirmação.

Passo 4

se C é linearmente dependente, então existem α ,   β   ∈   R tais que w é igual a α u   +   β v .

E aí? Será que é verdade essa afirmação? Vamos usar o resultado da afirmação anterior como inspiração.

Nós vimos que mesmo w sendo perpendicular a u   e   v o conjunto podia ser L D . Logo, se o conjunto for LD então é possível que w não seja uma combinação linear de u ,   v isto é, a equação

w = α u   +   β v

não tem solução. Logo essa afirmação também e falsa.

Dessa forma, chegamos a conclusão que a única afirmação verdadeira é a primeira. Logo a resposta é a alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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Prove que vec u = vec 0 harr ‖vec u‖ = 0
Prove que ‖- vec u‖ = ‖vec u‖
Prove que [(A , B) tilde (P , Q) e (C , D) tilde (P , Q)] - (A , B) tilde ( C , D ) .
Mostre que, se A≠ B , então A , B e B , A são de mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário.
(a) Faça um desenho ilustrando a proposição anterior no caso em que A , B , CeD são colineares.(b) Prove que ( A , B ) ~ ( C , D ) → ( B , A ) ~ ( D , C ) (c) Prove que A , B ~ C , D → C , A ~ ( D , B