8. Na base de um despenhadeiro, um foguete modelo, partindo do repouso, é lançado para cima num tempo t = 0 com a aceleração variando da seguinte forma

a y t = A - B t

Onde A e B são constantes positivas. No momento t = 0 , uma pequena pedra é solta do repouso do alto do despenhadeiro que possui uma altura h acima do foguete. A pedra bate no foguete no momento que este alcança a sua altura máxima. Negligenciando a resistência do ar, determine a altura h em termos das constantes A , B e g , sendo a aceleração da gravidade.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos um foguete que é lançado verticalmente cuja aceleração é descrita por a y t = A - B t . Quando o foguete é lançado, uma pedra é solta acima do foguete e o atingindo quando ele atinge seu ponto mais alto...

A partir dessa cinemática, queremos descobrir qual é a altura h que a pedra foi solta em termos de A , B e g .

Perece complicado? 👀

Basicamente a maneira mais simples de resolver esse problema é descobrir o instante t em que o foguete atinge seu ponto mais alto e a partir daí encontrar a altura percorrida pelo foguete e a altura que a pedra caiu até atingir o foguete.

Lembra como fazemos isso? 😉

Passo 2

Podemos usar a equação da aceleração para obter a equação da velocidade integrando a y ...

v y = ∫ a y d t = ∫ A - B t d t

v y = A t - B t 2 2 + a

Foi dito que o foguete parte do repouso, então a = 0

v y = A t - B t 2 2

No ponto mais alto v y = 0 , então dessa forma podemos encontrar o tempo de subida do foguete

v y = A t - B t 2 2 = 0

Calculando as raízes dessa equação, temos

A t - B t 2 2 = 0 → t = 0 t = 2 A B

Portanto, vemos que o tempo de subida é t = 2 A B .

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Integrando v y vamos encontrar a função posição do foguete no tempo

S y = ∫ v c d t = ∫ A t - B t 2 2 d t

S y = A t 2 2 - B t 3 6 + b

Quando t = 0 , S y = 0 , portanto a constante b que surgiu da integral é 0 .

S y = A t 2 2 - B t 3 6

Quando t = 2 A B , temos

S y M a x = A 2 A B 2 2 - B 2 A B 3 6

S y M a x = A 4 A 2 B 2 2 - B 8 A 3 B 3 6 = 2 A 3 B 2 - 4 A 3 3 B 2

S y M a x = 6 A 3 - 4 A 3 3 B 2

S y M a x = 2 A 3 3 B 2

Bacana, não é? 😉

Passo 4

Com o tempo t = 2 A B podemos descobrir o espaço que a pedra cai até atingir o foguete

S p = g t = 2 g A B

Portanto, a altura h total é dada por

h = S p + S y M a x

h = 2 g A B + 2 A 3 3 B 2

h = 6 g A B 3 B 2 + 2 A 3 3 B 2

h = 6 g A B + 2 A 3 3 B 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

h = 6 g A B + 2 A 3 3 B 2

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