Q 1 - Um garoto observa um gafanhoto quando este dá um salto vertical de 2,0 metros. As pernas deste gafanhoto têm 2,0   c m de comprimento. Para saltar o gafanhoto desdobra as suas pernas rapidamente e consegue realizar saltos enormes quando comparados ao seu tamanho. Despreze o atrito do ar, e adote g = 10   m / s 2 .

a ) Qual a aceleração média alcançada pelo gafanhoto no intervalo de tempo em que ele desdobra as pernas?

b ) Quanto tempo dura este salto do instante em que ele abandona o chão até o instante em que ele volta à posição inicial?

c ) Faça o gráfico de v ( t ) do momento em que o gafanhoto começa o movimento para saltar até o seu retorno ao solo.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa questão!

Analisando a situação descrita pelo enunciado, podemos tirar algumas seguintes informações.

O deslocamento do gafanhoto do chão até o ponto mais auto de sua trajetória é S = 2   m .

A altura que ele alcança antes de sair do chão quando está com as pernas esticadas é l = 2   c m = 0,02   m .

E a distância que ele percorre quando sai do chão é h .

Disso podemos tirar que:

h = S - l

Para achar a aceleração pedida em ( a ) que o gafanhoto tem no tempo em que ele desloca as pernas, temos que analisar a velocidade usando a equação de Torricelli enquanto ele estica as pernas e depois no movimento dele até o ponto mais alto da sua trajetória.

Vamos usar essa equação, pois o enunciado não nos falou nada sobre o tempo nesses processos.

Para o item ( b ) , temos que lembrar que o tempo total do salto equivale ao tempo de subida mais o tempo de descida, mas como eles são iguais podemos encontrar apenas um deles e multiplicar por dois.

Mas temos que lembrar que esse tempo é a partir do momento em que ele sai do chão.

E vamos usar a equação da velocidade da cinemática dada por:

v = v 0 - g t

Onde v = 0 é a velocidade no ponto mais alto e v 0 a velocidade com que ele deixa o chão.

Para montar o gráfico de ( c ) temos que usar a mesma equação acima só que com as informações que conseguimos.

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Primeiro vamos analisar o movimento na parte em que o gafanhoto está esticando as pernas. Usando a equação de Torricelli, temos:

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ s

Substituindo para o que temos, ficamos com:

v 2 = 2 a l

Agora o movimento que temos a partir do momento que ele sai do chão, vamos usar o índice 2 , para não confundir nossa cabeça, temos:

v 2 2 = v 02 + 2 a 2 Δ s

Só que agora, a velocidade final v 2 = 0 , a velocidade inicial é igual a velocidade final que o gafanhoto atinge antes de sair do chão e a = - g e Δ s = h , assim temos que:

0 = 2 a l - 2 g h

⇒ 2 a l = 2 g h

⇒ a = g h l

Usando o que sabemos sobre h , temos:

a = g ( S - l ) l

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

a = 10 ( 2 - 0,02 ) 0,02

⇒ a = 990   m / s 2

Item ( a ) feito com sucesso!

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Usando a equação da velocidade para a parte do movimento que ele deixa o chão temos:

v 2 = v 02 - g t

⇒ 0 = 2 a L - g t

⇒ t = 2 a L g

Esse é o tempo de subida, o tempo total é dado por:

t t o t = 2 2 a L g

Substituindo com os valores que conhecemos, temos:

t t o t = 2 2 ( 990 ) ( 0,02 ) 10

= 12,6 10

Então temos que:

t t o t = 1,26   s

Mais um item finalizado!

Passo 4

Agora vamos atrás do gráfico pedido em ( c ) .

A equação da velocidade para a primeira parte do movimento é dada por:

v = v 0 + a t

Onde v 0 = 0 e a = 990   m / s 2 , assim:

v = 990 t

Mas temos que saber o intervalo de tempo que essa parte dura, para isso vamos usar a equação da posição, temos:

l = s 0 + v 0 t + a t 2 2

⇒ l = a t 2 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

t = 0,006356   s

Então em 0 < t < 0,00 6356   s a velocidade varia da seguinte forma:

v = 990 t

A equação para a segunda parte do movimento é dada por:

v 2 = v 02 - g t

Onde temos que:

v 02 = 2 a l = 6,29285   m / s

Assim em 0,006356 < t < 1,26 , temos que:

v 2 = 6,29285 - 10 t

Sabendo de tudo isso o gráfico fica da seguinte forma:

E com isso a nossa questão está terminada!

Resposta

( a )

a = 990   m / s 2

( b )

t t o t = 1,26   s

( c )

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