Uma bolinha de massa m é lançada de um muro, fazendo um ângulo θ com a horizontal para baixo, saindo do muro de uma altura H a partir do solo. Mede-se que a bolinha leva um tempo T para atingir o solo, a partir do instante que sai do muro. Dê suas respostas em função de g ,   V 0 ,   θ ,   m e T .

3) Calcule o tempo que a bolinha gasta para passar pela metade da altura do muro

Passo 1

Oi, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Queremos determinar o tempo t no qual a bolinha passa pela altura y = H / 2 .

Relembrando das equações de movimento para a componente y (isso porque queremos saber y , que está na direção vertical)

y = y 0 + v 0 y t - g t 2 2 v y = v 0 y - g t v y 2 = v 0 y 2 - 2 g Δ y

E ideia para resolver questões de cinemática é comparar os dados que temos com as equações

Isso sem esquecer que a velocidade inicial pode ser decomposta em componente vertical e horizontal

y é negativa! Já a componente horizontal aponta para a direita, e assumimos que esse é o sentido positivo

tranquilo até aqui?

Temos g ,   V 0 ,   θ ,   m e T e queremos saber y = H / 2 , então através das equações de movimento vamos encontrar essa altura!

Vamos lá?

Passo 2

A bolinha saiu de uma posição inicial y 0 = H com uma velocidade inicial de v 0 y = - V 0 s e n θ . E queremos determinar o tempo t que ela leva para atingir a posição y = H / 2 . Ou seja, é interessante usar uma equação que relaciona posição e tempo, não é verdade?

E essa é a primeira equação daquele monte de equações do passo anterior!

y = y 0 + v 0 y t - g t 2 2

Essa é a equação horária do movimento: ela relaciona a posição y que o corpo vai passar com o instante t que isso vai acontecer!

Agora é só substituir os valores!

Passo 3

Os dados que temos são

v 0 y = - V 0 s e n θ

y 0 = H

y = H / 2

E queremos saber t ! A equação é

y = y 0 + v 0 y t - g t 2 2

Substituindo os valores temos

H 2 = H - V 0 s e n θ . t - g t 2 2

Reorganizando os termos:

g t 2 2 + V 0 s e n θ . t - H + H 2 = 0

g t 2 2 + V 0 s e n θ . t - H 2 = 0

E multiplicando tudo por 2 / g :

t 2 + 2 V 0 s e n θ g t - H g = 0

Temos uma equação de segunda ordem!

E como resolvemos isso? Pela fórmula de bhaskara!

Passo 4

Nossa equação é:

t 2 + 2 V 0 s e n θ g t - H g = 0

Os coeficientes a , b , c são:

a = 1

b = 2 V 0 s e n θ g

c = - H g

Agora é só substituir na bhaskara:

t = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

t = - 2 V 0 s e n θ g ± 2 V 0 s e n θ g 2 - 4 . 1 . - H g 2 . 1

E não tem muito mais que podemos fazer! Temos duas raízes (vamos descartar a negativa, pois não existe tempo negativo na física) e podemos escrever um pouco mais simples essa expressão

t = - V 0 s e n θ g + 1 2 2 V 0 s e n θ g 2 + 4 H g  

E é isso! Esse é o tempo que a bolinha leva para chegar na metade da altura do prédio!

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

t = - V 0 s e n θ g + 1 2 2 V 0 s e n θ g 2 + 4 H g  

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