Considere uma partícula em queda livre, (a) mostre que a força P → = - j → m g é conservativa

Passo 1

Para mostrar que a força peso P → = - m j → g representa a força gravitacional atuando em uma partícula em queda livre, onde j é o vetor unitário na direção vertical para cima, m é a massa da partícula e g é a aceleração devido à gravidade. Vamos mostrar que essa força é conservativa.

Uma força é considerada conservativa se for derivada de um potencial escalar, ou seja, existe uma função U (x,y,z) tal que:

F = - ⛛ U →

Onde ⛛ U o gradiente do potencial U. O gradiente é um operador que inclui as derivadas parciais em relação às coordenadas espaciais.

Passo 2

Para a força P=−jmg, podemos verificar que ela é conservativa, observando que a única componente não nula dessa força é a componente vertical, que atua na direção j. Portanto, a força age apenas ao longo do eixo vertical.

Passo 3

Se considerarmos que a partícula está se movendo apenas na direção vertical, podemos definir uma função de potencial U(y) que depende apenas da coordenada vertical y. Nesse caso, a força P será a derivada negativa do potencial U(y) em relação a y:

P = d U / d y J

Portanto, a força P pode ser derivada de um potencial escalar U(y), o que confirma que ela é conservativa.

Resposta

Portanto, a força P pode ser derivada de um potencial escalar U(y), o que confirma que ela é conservativa.

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