(Cap 2 – Ex 75) Uma pedra é atirada verticalmente, para baixo, do topo de um pesnhasco de 200 m. Durante o último meio segundo de seu vôo, a pedra percorre uma distância de 45 m. Encontre a rapidez inicial da pedra.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Queremos a velocidade inicial da pedra. Temos um movimento vertical, logo nosso objeto está sob a ação da aceleração da gravidade. Ela é uma aceleração constante, então vamos usar aqui as expressões para o movimento com aceleração constante, belezinha?

Agora, vamos pensar, queremos v 0 , certo? Mas ele não dá o tempo total do percurso, somente uma informação sobre o final do percurso e a distância percorrida Δ y .

Por isso, a gente pode tentar usar a expressão que relaciona a variação de posição Δ y com as velocidades inicial v o e final v f do nosso movimento. É essa equação aqui

v f 2 = v 0 2 + 2 a ∆ y

Isolando a velocidade inicial de um lado e colocando em função da aceleração a , da velocidade final v f e do percurso percorrido ∆ y :

v 0 2 = v f 2 - 2 a ∆ y

Como ele está caindo do penhasco, a aceleração que auxilia o aumento da velocidade no percurso da pedra é a aceleração da gravidade g que já conhecemos o valor:

v 0 2 = v f 2 - 2 g ∆ y

Vamos considerar que y é positivo para cima, por isso que g entrou com um sinal de menos, porque ela sempre aponta para baixo.

Logo ficamos com a equação final igual a :

v 0 = v f 2 - 2 g ∆ y

Só precisamos achar essa velocidade final, belezinha? Bora!

Passo 2

Agora vamos usar essa informação que ele deu sobre o final do percurso para achar v . Ele diz que 0,5   s antes de cair, a pedra está a 45   m do chão.

Vamos mudar nosso referencial de tempo e posição (só nesse passo 2 e no 3, tá?) e analisar o movimento entre dois momentos: quando o objeto está a 0,5 s de cair no chão (inicial) e quando ele cai no chão (final).

Para o momento onde ele está a 0,5 s de cair, vamos considerar que t 1 = 0 , a posição inicial é s 1 = 45   m e a velocidade é v 1 .

E para o momento que ele cai no chão o instante é meio segundo depois do inicial, então é t 2 = 0,5   s , a posição é a posição do chão no nosso referencial, então s 2 = 0   m e a velocidade é v 2 = v f .

Usando a equação que relaciona a variação de posição com o tempo para aceleração constante, vamos ter

s 2 - s 1 = v 1 t + a 2 t 2

Substituindo nossos dados, sendo o tempo decorrido t = 0,5   s e a = - g = - 9,81   m / s 2 (porque a gravidade aponta para baixo)

0 - 45 = v 1 0,5 - 9,81 2 0,5 2

Isolando v 1

v 1 = 1 0,5 - 45 + 9,81 2 0,5 2

v 1 = 2 - 45 + 9,81 2 0,25

Passo 3

Agora a gente usa a definição de aceleração para achar v 2 = v f , usando essa expressão de v 1 que achamos

a = v 2 - v 1 t 2 - t 1

a = v f - 2 - 45 + 9,81 2 0,25 0,5 - 0

Lembra que a = - g = - 9,81   m / s 2

- 9,81   0,5 = v f - 2 - 45 + 9,81 2 0,25

Isolando v f

v f = - 92,45   m / s

Esse sinal de menos mostra que a velocidade aponta para baixo, como diz no enunciado, beleza?

Passo 4

Substituindo o valor da velocidade final, gravidade e interalo de espaço percorrido pela pedra na nossa equação do passo 1, a velocidade inicial será:

v 0 = v f 2 - 2 g ∆ y

v 0 = 92,45 2 - 2 ⋅ 9,81 ⋅ 200

v 0 = 68   m / s

Resposta

v 0 = 68   m / s

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