Exercícios Resolvidos de Lançamento Vertical

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 40-99

Um certo malabarista normalmente arremessa bolas verticalmente até uma altura H . A que altura as bolas devem ser arremessadas para passarem o dobro do tempo no ar?

Passo 1

É um problema de lançamento vertical. Podemos considerar que o tempo de subida é igual ao tempo de descida, então se considerarmos que a bola gasta t segundos para chegar até a altura H , podemos dizer que para subir e descer   t + t segundos, 2 t   certo?

O problema quer saber qual a altura para que o tempo de vôo seja o dobro, ou seja, 2 ⋅ 2 t = 4 t . Com um tempo total de 4 t , teríamos 2 t de subida e 2 t de descida.

Mas como sabemos estamos tratando de um movimento vertical, ou seja, o objeto primeiramente realiza um movimento de subida e em seguida muda o sentido do seu movimento e inicia o movimento de descida.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para o cálculo da altura máxima só nos interessa parte do movimento, pode ser a subida ou a descida das bolas. Aqui usaremos as equações do lançamento vertical para cima, que considera o tempo de subida, e nesse caso a equação da altura fica desse jeito:

y = y 0 + v 0 y t - g 2 t 2

O sinal de g é negativo pois é oposto ao movimento aqui.

E pra encontrar a velocidade inicial da bolinha podemos usar o seguinte:

v = v 0 y - g t

No ponto da altura máxima temos v = 0 e portanto conheceremos o valor de v 0 y .

v 0 y = g t

Tomando y 0 = 0 que é o ponto do solo e substituindo v 0 y teremos a seguinte equação pra altura.

y = 0 + g t 2 - g t 2 2 = g t 2 2

y m á x = g t 2 2

Passo 3

Com a equação da altura máxima calcularemos a altura para o tempo normal, e a altura para o dobro do tempo.

H = g t 2 2

Para o tempo dobrado temos:

  H ' = g 2 t 2 2 = 4 g t 2 2 = 2 g t 2

Agora é só dividir H ' por H e teremos a relação das alturas:

H ' H = 2 g t 2 g t 2 2 = 4

Resposta

As bolas devem ser arremessada a uma altura 4 vezes maior que a altura inicial.

H ' = 4 H

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