Calcule, caso exista, cada um dos limites abaixo. Se não existir, justifique.

  1. lim x → 1 ⁡ x + 2
  2. lim x → 2 ⁡ x 2 + x x + 3
  3. lim x → 0 ⁡ x 2 + x x
  4. lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1
  5. lim x → - 1 ⁡ - x 2 - 2 x + 3
  6. lim x → 3 ⁡ x - 3 x - 3
  7. lim x → 0 ⁡ x 2 + 3 x - 1 x 2 + 2
  8. lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h
  9. lim x → 1 + ⁡ x - 1 x - 1
  10. lim x → 1 - ⁡ x - 1 x - 1
  11. lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1
  12. lim x → 1 + ⁡ f x - f ( 1 ) x - 1   o n d e   f x = x + 1 ,   s e   x ≥ 1 2 x ,   s e   x < 1
  13. lim x → 0 ⁡   x
  14. lim x → 2 - ⁡ g x - g ( 2 ) x - 2   o n d e   g x = x ,   s e   x ≥ 2 x 2 2 ,   s e   x < 2
  15. lim x → 2 + ⁡ g x - g ( 2 ) x - 2   o n d e   g x   é   u m a   f u n ç ã o   d o   i t e m   ( n )
  16. lim x → 2 ⁡ g x - g ( 2 ) x - 2   o n d e   g x   é   u m a   f u n ç ã o   d o   i t e m �� ( n )

Passo 1

Falaii galerinha do responde aiii

Bora láa

Vamos calcular o limite pedido:

lim x → 2 - ⁡ g x - g ( 2 ) x - 2

Dada a função g ( x ) definida por partes:

g x = x ,   s e   x ≥ 2 x 2 2 ,   s e   x < 2

Primeiro, vamos calcular g ( 2 )

Como   2 ≥ 2 , usamos a primeira parte da definição de g ( x ) que nos dá g 2 = 2

Passo 2

Agora, vamos analisar o limite à medida que x se aproxima de 2 pela esquerda x → 2 -

lim x → 2 - ⁡ g x - g ( 2 ) x - 2

Para x próximo de 2 pela esquerda, a expressão g x se comporta como x 2 2 .

Portanto, a expressão dentro do limite é:

x 2 2 - 2 x - 2

Simplificando:

x 2 - 4 2 x - 2

Fatorando e simplificando x - 2 :

x 2 - 4 2 ⋅ 1 x - 2 = x + 2 x - 2 2 x - 2 = x + 2 2

Passo 3

Agora, podemos calcular o limite à medida que x se aproxima de 2 pela esquerda:

lim x → 2 - ⁡ x + 2 2 = 2 + 2 2 = 2

Portanto, o limite da função g x - g ( 2 ) x - 2   quando x se aproxima de 2 pela esquerda é igual a 2.

Neste caso, o limite existe e é igual a 2.

Isso ocorre porque, ao se aproximar de x = 2 pela esquerda, a função g ( x ) se comporta como x 2 / 2 e a simplificação da expressão nos permitiu calcular o valor do limite diretamente.

Resposta

2

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5