Calcule, caso exista

g )   lim x → 0 + ⁡ x t g ( x 2 )      

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → 0 + ⁡ x t g x 2    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo 0 ∞

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim precisamos organizar para deixar a indeterminação do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Organizando temos

lim x → 0 + ⁡ x t g x 2     = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ x tan ⁡ x 2 = lim x → 0 + ⁡ e tan ⁡ x 2 ln ⁡ x    

E ainda podemos transportar o limite para dentro do argumento da expoente:

e lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ x 2 ln ⁡ x  

E ficamos com esse limite para resolver:

lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ x 2 ln ⁡ x  

Substituindo o x por 0 + ainda encontramos uma indeterminação, mas não temos ela no expoente! então já tá melhor!

Passo 3

Podemos organizar um pouco mais para termos uma indeterminação do tipo da regra de L’hospital

lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ x 2 ln ⁡ x   = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 tan ⁡ x 2  

Agora sim temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ e podemos aplicar a regra!

Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite temos

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 tan ⁡ x 2   = lim x → 0 + ⁡ 1 x - csc 2 ⁡ x . 2 x   = lim x → 0 + ⁡ 1 - csc 2 ⁡ x . 2 x 2  

= 1 ∞ = 0

E retornando para a exponencial

e 0 = 1

E é isso! Até a próxima!

Resposta

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5