Calcule, caso exista

u )   lim x → 1 - ⁡ 2 - x tan ⁡ π x 2      

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá esse limite

lim x → 1 - ⁡ 2 - x tan ⁡ π x 2    

Se você substituir pelo x indicado vai encontrar algo do tipo 1 ∞

E agora, como proceder?

Quando temos uma indeterminação assim precisamos organizar para deixar a indeterminação do tipo

0 0 o u ∞ ∞

Caso seja, podemos aplicar o Teorema de L’Hospital! Aí é só derivar em cima e embaixo e reavaliar o limite!

Bora lá?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo contigo!

Passo 2

Organizando temos

lim x → 1 - ⁡ 2 - x tan ⁡ π x 2     = lim x → 1 - ⁡ e ln ⁡ 2 - x tan ⁡ π x 2 = lim x → 1 - ⁡ e tan ⁡ π x 2 . ln ⁡ ( 2 - x )    

E ainda podemos transportar o limite para dentro do argumento da expoente:

e lim x → 1 - ⁡ tan ⁡ π x 2 . ln ⁡ ( 2 - x )  

E ficamos com esse limite para resolver:

lim x → 1 - ⁡ tan ⁡ π x 2 . ln ⁡ ( 2 - x )   = lim x → 1 - ⁡ ln ⁡ ( 2 - x ) 1 tan ⁡ π x 2  

Substituindo o x por 0 ainda encontramos uma indeterminação do tipo 0 0 , podemos aplicar L’hospital! Então já tá melhor!

Passo 3

Derivando em cima e embaixo e avaliando novamente o limite temos

lim x → 1 - ⁡ ln ⁡ ( 2 - x ) 1 tan ⁡ π x 2   = lim x → 1 - ⁡ - 1 2 - x - π 2 csc 2 ⁡ π x 2  

Avaliando agora essa nova expressão no limite

lim x → 1 - ⁡ 2 π 1 ( 2 - x ) csc 2 ⁡ π x 2   = 2 π . 1 = 2 π

Tudo bem? E por fim vamos retornar para a exponencial

e lim x → 1 - ⁡ tan ⁡ π x 2 . ln ⁡ ( 2 - x )   = e 2 / π

E é isso! Até a próxima!

Resposta

e 2 / π

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Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.