9) Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.

l i i m x → - 1 3 x + 1 - 5 x 2 - 1

Passo 1

Fala Pessoal!!

Mais um limite para a gente resolver, e o primeiro passo já está na ponta da língua.

Vamos fazer x =   - 1 no limite e testar se é possível resolver assim:

l i i m x → - 1 3 x + 1 - 5 x 2 - 1 = 3 0 - 5 0

Isso é uma indeterminação matemática, então não dá para fazer desse jeito. Mesmo que quase sempre dê uma indeterminação, esse passo é bem importante e precisamos testar na resolução de todos os limites.

Passo 2

Já que deu uma indeterminação, a ideia agora é tentar retirá-la. Então, vamos chamar a nossa amiga fatoração, até porque esse ( x 2 - 1 ) e ( x + 1 ) são bonitos demais para estarem aí por coincidência, certo?

Lembra que:

x 2 - 1 = x + 1 x - 1

Então, bora manipular essa continha do limite, para deixar tudo em uma fração só:

3 x + 1 - 5 x 2 - 1 = 3 x - 1 - 5 x 2 - 1 = 3 x - 8 x 2 - 1

Opa, resultado interessante. Consegue perceber que a indeterminação no limite está sendo causada justamente pelo termo ( x + 1 ) ? E pelo que desenvolvemos, não conseguimos tirar essa indeterminação do denominador, ou seja, esse limite realmente está indo para ±   ∞ .

A questão acabou então? Nããoo. Lembra que o limite ainda pode não existir se os limites laterais forem diferentes.

Passo 3

Vamos então calcular esses limites laterais e verificar se eles são iguais ou não.

  1. lim x → - 1 - ⁡ 3 x - 8 x 2 - 1   :
  2. Vamos analisar o sinal do numerador e do denominador separadamente para descobrir se o limite vai tender a ±   ∞ . Então:

  • Se x → - 1 -   , então 3 x - 8 →   - 11 < 0
  • Se x → - 1 - , então x 2 - 1 →   + 0 , ou seja, tende a um número muito muito próximo de zero, mas que é maior do que ele.

Logo, a divisão deverá resultar em um número que tende a - ∞ .

  • lim x → - 1 + ⁡ 3 x - 8 x 2 - 1     :
  • Vamos novamente separar a análise em numerador e denominador:

    • Se x →   - 1 + , então 3 x - 8 →   - 11 < 0
    • Se x →   - 1 + , então x 2 - 1 →   - 0 , ou seja, tende a um número muito próximo de zero, mas que é menor do que ele.

    Logo, a divisão deverá resultar em um número que tende a + .

    Opa, olha que interessante. lim x → - 1 - ⁡ 3 x - 8 x 2 - 1   = - ∞ ≠   lim x → - 1 + ⁡ 3 x - 8 x 2 - 1     =   + ∞  

    Os limites laterais são diferentes, e quando isso acontece dizemos que o limite não existe.

    Prontinho, viu como foi importante fazer a análise dos limites laterais?! Vamos guardar essa ideia!!

    Resposta

    l i i m x → - 1 3 x + 1 - 5 x 2 - 1 não existe.

    Exercícios de Livros Relacionados

    Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
    Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
    Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
    Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
    Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5