Calcule os limites abaixo, se existirem

c )   lim x → - 1 ⁡ x 3 + 1 x 2 - 1

Passo 1

Oi Galera! Vou ajudar aqui!

Pra resolver esses limites a gente faz o seguinte, tipo receita de bolo:

  • substitui o valor de x no limite. Se der algum valor (e não uma indeterminação), então beleza, tudo certo!
  • se der zero / zero: quer dizer que podemos simplificar de alguma forma (multiplicando por alguma coisa, fatorando o polinômio... aqui vai chover truque sujo!) e daí levantar a indeterminação;
  • e se der no numerador um número e no denominador zero, aí sim: esse limite não existe!

Beleza? Vamos começar?

Passo 2

Temos o limite:

lim x → - 1 ⁡ x 3 + 1 x 2 - 1

Substituindo x = - 1 na função dentro do limite temos:

( - 1 ) 3 + 1 ( - 1 ) 2 - 1 = 0 0

Olha! Deu ruim! Precisamos simplificar essa função!

Passo 3

Uma das raízes do numerador x 3 + 1 é - 1 . Então se a gente dividir esse polinômio por x + 1 vamos ter um polinômio de grau 2. E daí podemos reescrever esse numerador como a multiplicação e dois fatores:

x 3 + 1 = ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 )

(pra você confiar que sua divisão está correta, é só fazer a multiplicação com produto notável do lado direito e verificar que é igual ao lado esquerdo)

Agora o denominador: x 2 - 1

Esse polinômio a gente já viu em outros carnavais e as raízes são - 1 e + 1 . Então na forma fatorada fica assim:

x 2 - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 )

E dividindo o numerador pelo denominador na forma fatorada temos:

x 3 + 1 x 2 - 1 = ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) = ( x 2 - x + 1 ) ( x - 1 )

Beleza?

Passo 4

Agora vamos pegar essa nova expressão do limite que queremos calcular e substituir x por - 1 :

lim x → 2 ⁡ x 3 + 1 x 2 - 1 = lim x → 2 ⁡ ( x 2 - x + 1 ) ( x - 1 ) = ( - 1 ) 2 - 1 . ( - 1 ) + 1 - 1 - 1 = - 3 2

Pronto! Retiramos a indeterminação e o valor do limite pode ser calculado!

Até a próxima!

Resposta

- 3 / 2

Exercícios de Livros Relacionados

Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.