Calcule os limites abaixo, se existirem

l )   lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1

Passo 1

Oi pessoal! Tudo bem?

Pra resolver esses limites a gente faz o seguinte:

  • substitui o valor de x no limite. Se der algum valor (e não uma indeterminação), então beleza, tudo certo!
  • se der zero / zero: quer dizer que podemos simplificar de alguma forma (multiplicando por alguma coisa, fatorando o polinômio... aqui vai chover truque sujo!) e daí levantar a indeterminação;
  • e se der no numerador um número e no denominador zero, aí sim: esse limite não existe!

Beleza? Vamos começar?

Passo 2

Temos o limite:

lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1

Substituindo x = 1 na função dentro do limite temos:

1 - 1 1 - 1 = 0 0

Olha! Deu ruim! Precisamos simplificar essa função!

E aqui começa a chuva de truque sujo! Hahaha

Quando tiver “raiz de x menos uma coisa” dividido “x menos a coisa ao quadrado” você precisa sentir cheiro de produto notável. Saca só:

a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b )

Sempre a gente pode usar isso ta? Anota aí pra você usar depois!

Passo 3

No nosso caso:

lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1

Comparando com a e b do passo anterior:

a 2 = x         ;         b 2 = 1

Então o denominador fica assim:

x - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 )

Beleza?

E aí a gente substitui lá no limite e simplifica o que dá:

lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ x - 1 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = lim x → 1 ⁡ 1 ( x + 1 )

Passo 4

Agora vamos substituir x por 1 :

lim x → 1 ⁡ 1 ( x + 1 ) = 1 1 + 1 = 1 2

Pronto! Retiramos a indeterminação e o valor do limite pode ser calculado!

Espero ter te ajudado!

Até a próxima!

Resposta

1 2

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