Calcule os limites, caso existam:

c) lim y → 0 ⁡ s e n   3 y c o t g   ( 5 y ) y   c o t g   ( 4 y )

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos o seguinte limite, caso exista:

lim y → 0 ⁡ s e n   3 y c o t g   ( 5 y ) y   c o t g   ( 4 y )

E aí? Como podemos resolver? Não podemos simplesmente substituir o limite pois haverá uma indeterminação (divisão por zero).

Bom... temos que ter ideia que, por definição:

lim x → a ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → a ⁡ f ( x ) lim x → a ⁡ g ( x )

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... vamos fazer primeiro o limite do numerador:

lim y → 0 ⁡ s e n   3 y c o t g   5 y ∴

lim y → 0 ⁡ s e n   3 y t g   5 y

Aplicando L’Hospital, temos:

lim y → 0 ⁡ 3   c o s   3 y 5 sec 2 ⁡ 5 y   = 3   c o s   0 5 sec 2 ⁡ 0   = 3 5

Agora vamos aplicar no limite!!

Passo 3

Agora, fazendo o limite do denominador, temos:

lim y → 0 ⁡ y   c o t g   ( 4 y ) ∴

lim y → 0 ⁡ y t g   ( 4 y ) ∴

Aplicando L’Hospital:

lim y → 0 ⁡ 1 4 sec 2 ⁡ 0   = 1 4

Passo 4

Assim, aplicando no limite, temos:

lim y → 0 ⁡ s e n   3 y c o t g   ( 5 y ) y   c o t g   ( 4 y ) = 3 5 1 4 = 12 5

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim y → 0 ⁡ s e n   3 y c o t g   ( 5 y ) y   c o t g   ( 4 y ) = 12 5

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5