19) Calcule os limites laterais de f x = g x s e n x em x = 0 , se g x =   cos ⁡ x + 3       ,         x < 0 x 2 - 9                         ,     x ≥ 0        

Passo 1

Fala galerinha! Tudo certo?

Nessa questão precisamos calcular os limites laterais de f quando x   tende a zero. Nesse caso, g é definida por partes, de forma que quando x tende a zero pela esquerda (ou seja, por valores menores que zero) g terá uma lei de formação, e quando x tende a zero pela direita g terá outra lei de formação.

Maasss, bora dar um passo de cada vez.

Passo 2

Primeiro, calculando o limite lateral pela esquerda. Vamos ter:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 s e n x

Vamos inicialmente fazer x = 0 nessa expressão. Fazendo isso, vamos ter algo como 3 / 0

Ainda que não seja possível dividir por zero, analisando esse resultado conseguimos perceber que esse limite deve tender para o infinito. Como aqui, x → 0 - , então s e n x vai ser bem próximo de zero, mas ainda será um número negativo, logo o quociente tende a - ∞ .

lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 s e n x =   - ∞

Vamos agora calcular o segundo limite lateral:

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 s e n x

Usando a mesma ideia do cálculo do limite anterior, quando x → 0 + vamos ter algo do tipo - 9 / 0 , que deve tender a ±   ∞ . Como x tende pela direita, s e n x > 0 . Daí, o quociente deve também dar - ∞ .

lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 s e n x =   - ∞

Prontinho! Esse era um caso que sair abrindo o seno ou o cosseno usando identidades trigonométricas não iria ajudar, então é válido usar um raciocínio mais lógico pra determinar esse limite.

Resposta

lim x → 0 - ⁡ c o s x + 3 s e n x =   - ∞

lim x → 0 + ⁡ x 2 - 9 s e n x =   - ∞

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