Calcule os limites laterais:

j) lim x → - 1 ⁡ k x - k ( - 1 ) x + 1 , onde k x = x 2 + 1 ,     s e   x ≥ - 1   2 x 4 ,     s e   x < - 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função k x definida por partes, quando x tende a - 1 .

Pra que o nosso limite exista, precisamos que os limites laterais da função nesse ponto sejam iguais.

Repare que para valores maiores ou iguais a - 1 ( x ≥ - 1 ), temos a lei de formação k x = x 2 + 1 . E para valores menores que - 1 ( x < - 1 ), nossa função é definida por k x = 2 x 4 . Então, vamos calcular os limites laterais para x tendendo a - 1 pela direita e pela esquerda, usando as respectivas leis de formação para cada condição.

Vamos lá!

Passo 2

Nosso limite é dado por:

lim x → - 1 ⁡ k x - k - 1 x + 1

Como vimos no passo anterior, para x ≥ - 1 , temos k x = x 2 + 1 e k - 1 = 2 . Logo, calculando o limite lateral pela direita, temos:

lim x → - 1 + ⁡ x 2 + 1 - 2 x + 1

= lim x → - 1 + ⁡ x 2 - 1 x + 1

Fatorando o numerador e simplificando a fração:

lim x → - 1 + ⁡ x + 1 ( x - 1 ) x + 1 = lim x → - 1 + ⁡ x - 1

Aplicando o limite, temos:

= - 1 - 1

= - 2

Passo 3

Agora para x < - 1 , nossa função é dada por k x = 2 x 4 e h - 1 = 2 . Logo, calculando o limite lateral pela esquerda, teremos:

lim x → - 1 - ⁡ k x - k - 1 x + 1 = lim x → - 1 - ⁡ 2 x 4 - 2 x + 1

Fatorando o numerador e simplificando a fração:

lim x → - 1 - ⁡ 2 x 2 + 1 x 2 - 1 x + 1 = lim x → - 1 - ⁡ 2 x 2 + 1 x + 1 x - 1 x + 1

= lim x → - 1 - ⁡ 2 ( x 2 + 1 ) x - 1

E aplicando o limite:

= 2 ( - 1 2 + 1 ) ( - 1 - 1 )

= 2 ∙ 2 ∙ - 2

= - 8

Portanto, como lim x → - 1 + ⁡ k x - k - 1 x + 1 ≠ lim x → - 1 - ⁡ k x - k - 1 x + 1 , o limite da função quando x → - 1 não existe:

lim x → - 1 ⁡ k x - k - 1 x + 1 → ∄

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

N ã o   e x i s t e

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