Calcule os seguintes limites

a) lim n → - 1 + ⁡ x 2 - 4 x + 1

Passo 1

E aí pessoal, tudo de boa? Bora pra cima! Aqui temos que calcular esse limite sem aplicar a regra de l’Hospital. Show, nosso limite é:

lim n → - 1 + ⁡ x 2 - 4 x + 1

Nele, o nosso principal problema é porque apesar de ser um limite de polinômios, é uma divisão deles. E aí, como saímos disso facilmente?

Passo 2

A melhor saída pra gente nesse problema, é usarmos uma propriedade de limite que diz:

lim x → n ⁡ f x ⋅ g x   = lim x → n ⁡ f ( x )   ⋅ lim x → n ⁡ g x   ( 1 )

Ou seja, se conseguirmos separar essa razão em duas, conseguimos calcular o limite delas separadas e depois juntar. Então bora lá, algum palpite de como a gente divide em duas funções? Basta a gente considerar o denominador como:

1 g ( x )

Ou seja:

f x = x 2 - 4

g x = x + 1

Calculando os limites separados:

lim n → - 1 + ⁡ x 2 - 4 = - 1 2 - 4

lim n → - 1 + ⁡ x 2 - 4 = 1 - 4

lim n → - 1 + ⁡ x 2 - 4 = - 3

Passo 3

Belezura, agora vamos pro limite de g ( x ) .

lim n → - 1 + ⁡ 1 x + 1

Ao aplicarmos o valor do limite no denominador (pelo lado direito, indicado pelo sinal de + ao lado do - 1 ), percebemos que para x se aproximando de - 1 pela direita,

x > - 1

Dessa forma:

x + 1 > 0

E se o denominador tende a 0, o limite tende a infinito. Portanto:

lim n → - 1 + ⁡ 1 x + 1 = + ∞

Passo 4

Agora voltamos a equação (1), lá do passo 2:

lim x → n ⁡ f x ⋅ g x   = lim n → - 1 + ⁡ f ( x )   ⋅ lim n → - 1 + ⁡ g x   ( 1 )

Como já sabemos os valores de lim x → n ⁡ f ( x )   e lim x → n ⁡ g x , basta fazermos o produto:

lim n → - 1 + ⁡ f ( n )   = - 3

lim n → - 1 + ⁡ g n = + ∞

lim n → - 1 + ⁡ f x ⋅ g x   = lim n → - 1 + ⁡ f ( x )   ⋅ lim n → - 1 + ⁡ g x

lim n → - 1 + ⁡ f x ⋅ g x   = - 3 ⋅ + ∞

lim n → - 1 + ⁡ x 2 - 4 x + 1 = - ∞

E dessa forma encontramos o limite! E é isso gente boa!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

lim n → - 1 + ⁡ x 2 - 4 x + 1 = - ∞

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5