C2. Considere a função

h x = x ,     x ≥ 3   x 2 3 ,     x < 3

e calcule os seguintes limites.

(a) lim x → 3 - ⁡ h x - h ( 3 ) x - 3

Passo 1

Faaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês?? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse é um desses exercícios bem típicos de cálculo 1, onde temos que calcular um limite, a partir de funções que foram pré-determinadas.

Além disso, pra essa questão aqui vamos notar algo que vai ser importante! O valor que a função vai assumir, vai depender da condição que x vai assumir, que é o que está representado pelo que foi dado no enunciado:

h x = x ,     x ≥ 3   x 2 3 ,     x < 3

Então, para calcularmos o limite que foi pedido, usando h ( x ) , devemos primeiro avaliar para qual valor x tenderá, para então determinarmos qual valor h ( x ) vai assumir. A partir disso, aí sim podemos substituir o seu respectivo valor no limite, e então calculá-lo.

Bora lá então!

Passo 2

Por onde eu devo começar esse exercício?

O primeiro passo será simplificar a função para aplicarmos o limite.

Nesse caso aqui, vamos observar que como estamos aproximando pela esquerda (uma vez que temos x → 3 - ), os valores de x serão menores que 3 , portanto h ( x ) é x 2 3 !!

Então como temos h x = x 2 3 , temos também que h ( 3 ) será:

h 3 = 3 2 3 = 3

Portanto, o nosso limite será:

lim x → 3 - ⁡ h x - h ( 3 ) x - 3 = lim x → 3 - ⁡ x 2 3 - 3 x - 3

Agora, como temos uma aproximação pela esquerda, vamos avaliar o limite aplicando valores menores que 3 , os quais se aproximam deste, de modo a estimar o resultado desse limite.

Bora lá então!

Passo 3

Para os valores menores que 3 , vamos escolher os seguintes:   2,5 ; 2,9 ; 2,99 ; 2,999 .

Note que esses valores foram escolhidos pois o x se aproxima de 3 pela esquerda, e o ideal é que esses valores sejam o mais próximo de 3 possível, de modo a verificar de maneira confiável o resultado do limite.

Então, para 2,5 :

x 2 3 - 3 x - 3 = 2,5 2 3 - 3 2,5 - 3 = - 0,91666 - 0,5 = 1,83333

Para 2,9 :

x 2 3 - 3 x - 3 = 2 , 9 2 3 - 3 2 , 9 - 3 = - 0 , 19 666 - 0 , 1 = 1 , 96666

Para 2,99 :

x 2 3 - 3 x - 3 = 2,9 9 2 3 - 3 2,9 9 - 3 = - 0 , 0199 666 - 0 , 0 1 = 1,9 9 6666

Para 2,999 :

x 2 3 - 3 x - 3 = 2,9 99 2 3 - 3 2,9 99 - 3 = - 0 , 001999 66 - 0 , 00 1 = 1,9 99 66

Portanto, vemos que quanto mais próximo x chega de 3, mais próximo o limite chega de 2! Então:

lim x → 3 - ⁡ h x - h ( 3 ) x - 3 = 2

Prontinho! Pra essa questão é isso, pessoal!

Bora lá resolver mais uma?

Resposta

lim x → 3 - ⁡ h x - h ( 3 ) x - 3 = 2

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