Considere uma função f e um número real p de modo que lim x → p +   ⁡ f ( x ) = 0 . Suponha que exista um número r > 0 tal que f x > 0 , para todo p > x > p + r .

Prove que

lim x → p +   ⁡ 1 f x = + ∞

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa afirmação aqui

lim x → p +   ⁡ f ( x ) = 0

E faz uma afirmação:

Prove que lim x → p +   ⁡ 1 f x = + ∞

E agora, como mostrar isso?

Vamos usar uma propriedade dos limites: o limite do quociente é o quociente dos limites!

E lembrando que um número dividido por um número muuuito pequeno resulta em um valor gigante, podemos mostrar o que é pedido!

Bora lá!

Passo 2

Usando a propriedade dos limites do quociente temos

lim x → p +   ��� 1 f x = lim x → p +   ⁡ 1 lim x → p +   ⁡ f ( x )

Tudo bem até aqui?

Pelo enunciado

lim x → p +   ⁡ f ( x ) = 0

E sabemos que

lim x → p +   ⁡ 1 = 1

Então nosso limite fica

lim x → p +   ⁡ 1 f x = 1 0

Mas não temos exatamente zero no denominador! Temos algo que se aproxima muito! Pois o que temos é o limite! Sendo assim temos uma constante dividida por um limite que tende a zero, então nosso resultado explode para o infinito!

lim x → p +   ⁡ 1 f x = lim x → p +   ⁡ 1 lim x → p +   ⁡ f ( x ) = + ∞

E é isso! Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5