Exercícios Resolvidos de Limites Laterais e Existência do Limite

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 3, Questão 2iii

Dadas as funções f x = x 2 + 3       s e   x 1 x + 1       s e   x > 1 e g x = x 2       s e   x 1 2       s e   x > 1 ,

i i i Dê a expressão da função F x = f x . g x e verifique se existe lim x 1 F x

Passo 1

Como as expressões têm o mesmo intervalo, basta multiplicarmos cada expressão:

F x = f x g x = x 2 + 3 x 2       s e   x 1 x + 1 2       s e   x > 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos analisar o limite:

lim x 1 F x

Como a expressão muda à esquerda e à direita do limite, vamos usar os limites laterais. Se os limites laterais existirem e forem iguais, então o limite existe e é igual ao valor encontrado para os laterais. Como a expressão para valores à esquerda de x = 1 é x 2 + 3 x 2 :

lim x 1 - F x = l i m x 1 -   x 2 + 3 x 2

Como não há indeterminação, podemos substituir direito: l i m x 1 -   x 2 + 3 x 2 = 1 - 2 + 3 1 - 2 = 4

De maneira análoga:

lim x 1 + F x = l i m x 1 +   x + 1 2 = 1 - + 1 2 = 4

Como os limites laterais são iguais e iguais a 4 :

lim x 1 F x = 4 Chegamos a uma conclusão muito importante aqui. Veja que:

lim x 1 f x lim x 1 g x

Não existem, mas:

lim x 1 f x g x

Existe. Isso significa que se dois limites não existem, é possível que o limite do produto dos dois exista. Lembre-se disso!

Resposta

F x = x 2 + 3 x 2 , x 1 2 x + 1 , x > 1

lim x 1 F x = 4

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